Упражнение 160 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\( \frac{81}{\,(0{,}5b+9)^2 + (0{,}5b-9)^2\,} =\)

\(= \frac{81}{ 0{,}25b^2 +\cancel{9b} +81 + 0{,}25b^2 -\cancel{9b} +81 } =\)

\(= \frac{81}{0{,}5b^2 +162} =\frac{81}{0{,}5(b^2 +324)} =\)

\(=\frac{\cancel{810}  ^{162}}{\cancel{5}(b^2 +324)} =\frac{162}{b^2 +324} =\)

\(b^2 +324 > 0\) при любом \(b\).

Выражение принимает наибольшее значение при \(b = 0\):

\(\frac{162}{0^2 +324} =\frac{162}{324} = \frac{1}{2}\)

Ответ: при \(b = 0\) выражение принимает наибольшее значение, равное \(\frac12\).

Пояснения:

Сначала преобразовали знаменатель по формулам квадрата суммы и квадрата разности двух выражений:

\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\);

\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).

Затем в знаменателе привели подобные, вынесли общий множитель за скобки и сократили дробь на этот множитель.

Далее учли то, что дробь принимает наибольшее значение при наименьшем знаменателе.

Знаменатель \(b^2+324 > 0\) при любом \(b\), поэтому это выражение будет минимально при \(b=0\), то есть наибольшее значение дроби будет при \(b=0\), которое равно \(\frac12\).

а) \(\displaystyle \frac{1{,}2\,x^2 - x y}{0{,}36\,x^2 - 0{,}25\,y^2} = \frac{20x}{6x + 5y}\)

\(\displaystyle \frac{2x\cancel{(0,6x - 0,5y)}}{\cancel{(0,6x - 0,5y)}(0,6x + 0,5y)} = \frac{20x}{6x + 5y}\)

\(\displaystyle \frac{2x}{0,6x + 0,5y} = \frac{20x}{6x + 5y}\)

\(\displaystyle \frac{2x}{0,1(6x + 5y)} ^{\color{blue}{\backslash10}} = \frac{20x}{6x + 5y}\)

\(\displaystyle \frac{20x}{6x + 5y} = \frac{20x}{6x + 5y}\)

Тождество доказано.

б) \(\displaystyle \frac{4{,}5\,a + 4x}{0{,}81\,a^2 - 0{,}64\,x^2} = \frac{50}{9a - 8x}\)

\(\displaystyle \frac{5\cancel{(0,9a+0,8x)}}{(0,9a-0,8x)\cancel{(0,9a+0,8x)}} = \frac{50}{9a - 8x}\)

\(\displaystyle \frac{5}{(0,9a-0,8x)} = \frac{50}{9a - 8x}\)

\(\displaystyle \frac{5}{0,1(9a-8x)} ^{\color{blue}{\backslash10}} = \frac{50}{9a - 8x}\)

\(\displaystyle \frac{50}{9a-8x} = \frac{50}{9a - 8x}\)

Тождество доказано.

Пояснения:

Чтобы доказать тождества, преобразуем их левые части, разложив на множители числители и знаменатели, для этого используем следующие приемы:

1) Вынос общего множителя:

\(\displaystyle p\,a+p\,b=p(a+b).\)

2) Разность квадратов:

\(\displaystyle x^2-y^2=(x-y)(x+y).\)

3) Свойство степени:

\(a^nb^n = (ab)^n\).

Затем сокращаем полученные дроби на общий множитель числителя и знаменателя.

Далее в знаменателе выносим общий множитель за скобки так, чтобы в скобках получить целые коэффициенты. После, умножив числитель и знаменатель полученной дроби на 10, получаем выражение такое же как и в правой части равенства, а это говорит о том, что тождество доказано.