Упражнение 158 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( \frac{x+2}{x^2-2x+1}\cdot\frac{3x-3}{x^2-4}-\frac{3}{x-2}=\)

\(= \frac{x+2}{(x-1)^2}\cdot\frac{3(x-1)}{(x-2)(x+2)} - \frac{3}{x-2}=\)

\(= \frac{\cancel{(x+2)}\cdot 3\cancel{(x-1)}}{(x-1)^{\cancel{2}}\cdot(x-2)\cancel{(x+2)}} - \frac{3}{x-2}=\)

\(= \frac{3}{(x-1)(x-2)} - \frac{3}{x-2} ^{\color{blue}{\backslash{x-1}}} =\)

\(= \frac{3-3(x-1)}{(x-1)(x-2)} =\)

\(= \frac{3-3x+3}{(x-1)(x-2)} =\)

\(= \frac{-3x+6}{(x-1)(x-2)} =\)

\(= \frac{-3\cancel{(x-2)}}{(x-1)\cancel{(x-2)}} =\)

\(=\frac{3}{-(x-1)}=\frac{3}{1-x}.\)

б) \(\frac{a-2}{4a^2+16a+16}:\Bigl(\frac{a}{2a-4}-\frac{a^2+4}{2a^2-8}-\frac{2}{a^2+2a}\Bigr)=\)

\(=\frac{a-2}{4(a^2+4a+4)}:\Bigl(\frac{a}{2(a-2)}-\frac{a^2+4}{2(a^2-4)}-\frac{2}{a(a+2)}\Bigr)=\)

\(= \frac{a-2}{4(a+2)^2}:\Bigl(\frac{a}{2(a-2)} ^{\color{blue}{\backslash{a(a+2)}}} -\frac{a^2+4}{2(a-2)(a+2)} ^{\color{blue}{\backslash{a}}} -\frac{2}{a(a+2)} ^{\color{blue}{\backslash{2(a-2)}}} \Bigr) =\)

\(=\frac{a-2}{4(a+2)^2}:\frac{a^2(a+2)-a(a^2+4)-4(a-2)}{2a(a-2)(a+2)} =\)

\(=\frac{a-2}{4(a+2)^2}:\frac{\cancel{a^3}+2a^2-\cancel{a^3}-4a-4a+8}{2a(a-2)(a+2)} =\)

\(=\frac{a-2}{4(a+2)^2}:\frac{2a^2-8a+8}{2a(a-2)(a+2)} =\)

\(=\frac{a-2}{4(a+2)^2}:\frac{2(a^2-4a+4)}{2a(a-2)(a+2)} =\)

\(=\frac{a-2}{4(a+2)^2}:\frac{\cancel{2}(a-2)^{\cancel{2}}}{\cancel{2}a\cancel{(a-2)}(a+2)} =\)

\(=\frac{a-2}{4(a+2)^2}\cdot\frac{a(a+2)}{a-2}=\)

\(=\frac{\cancel{(a-2)}\cdot a\cancel{(a+2)}}{4(a+2)^{\cancel{2}}\cdot\cancel{(a-2)}}=\)

\(=\frac{a}{4(a+2)}.\)

Пояснения:

Основные используемые правила:

1) Порядок действий:

если в выражении есть скобки, то сначала выполняют действия в скобках, а затем за скобками;

если в выражении нет скобок, то сначала выполняют умножение и деление, а затем сложение и вычитание.

2) Для сложения и вычитания дробей приводим их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель каждой дроби на необходимые множители. При этом, при приведении дробей к общему знаменателю, если возможно, раскладываем на множители знаменатели складываемых или вычитаемых дробей. Затем, чтобы получить общий знаменатель, составляем произведение из всех множителей без повторений, входящих в знаменатели складываемых или вычитаемых дробей.

3) Деление дробей выполняется умножением на обратную дробь:

\(\frac{A}{B} : \frac{C}{D} = \frac{A}{B}\cdot\frac{D}{C}= \frac{A\cdot D}{B\cdot C}.\)

4) Вынос общего множителя:

\(\displaystyle p\,a+p\,b=p(a+b).\)

5) Разность квадратов:

\(\displaystyle x^2-y^2=(x-y)(x+y).\)

6) Квадрат суммы двух выражений:

\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).

7) Квадрат разности двух выражений:

\((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\);

8) Противоположные выражения:

\(a-b = -(b-a)\).

9) Свойство дроби:

\(\frac{-a}{b}=\frac{a}{-b}\).

\( \frac{81}{\,(0{,}5b+9)^2 + (0{,}5b-9)^2\,} =\)

\(= \frac{81}{ 0{,}25b^2 +\cancel{9b} +81 + 0{,}25b^2 -\cancel{9b} +81 } =\)

\(= \frac{81}{0{,}5b^2 +162} =\frac{81}{0{,}5(b^2 +324)} =\)

\(=\frac{\cancel{810}  ^{162}}{\cancel{5}(b^2 +324)} =\frac{162}{b^2 +324} =\)

\(b^2 +324 > 0\) при любом \(b\).

Выражение принимает наибольшее значение при \(b = 0\):

\(\frac{162}{0^2 +324} =\frac{162}{324} = \frac{1}{2}\)

Ответ: при \(b = 0\) выражение принимает наибольшее значение, равное \(\frac12\).

Пояснения:

Сначала преобразовали знаменатель по формулам квадрата суммы и квадрата разности двух выражений:

\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\);

\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).

Затем в знаменателе привели подобные, вынесли общий множитель за скобки и сократили дробь на этот множитель.

Далее учли то, что дробь принимает наибольшее значение при наименьшем знаменателе.

Знаменатель \(b^2+324 > 0\) при любом \(b\), поэтому это выражение будет минимально при \(b=0\), то есть наибольшее значение дроби будет при \(b=0\), которое равно \(\frac12\).