Упражнение 64 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\frac{10p}{p - q} + \frac{3p}{q - p} =\)

\(=\frac{10p}{p - q} - \frac{3p}{p - q} = \frac{7p}{p - q}. \)

б) \( \frac{5a}{a - b} + \frac{5b}{b - a} =\)

\(=\frac{5a}{a - b} - \frac{5b}{a - b} =\)

\(=\frac{5\cancel{(a - b)}}{\cancel{a - b}} = 5. \)

в) \(\frac{x - 3}{x - 1} - \frac{2}{1 - x} =\)

\(=\frac{x - 3}{x - 1} + \frac{2}{x - 1} =\)

\(=\frac{x - 3 + 2}{x - 1} = \frac{\cancel{x - 1}}{\cancel{x - 1}} = 1. \)

г) \( \frac{a}{2a - b} + \frac{3a - b}{b - 2a} =\)

\(=\frac{a}{2a - b} - \frac{3a - b}{2a - b} = \)

\(=\frac{a - (3a - b)}{2a - b} =\frac{a - 3a + b}{2a - b} =\)

\(=\frac{-2a+b}{2a - b} =\frac{-\cancel{(2a-b)}}{\cancel{2a - b}} = -1. \)

д) \( \frac{a}{a^2 - 9} + \frac{3}{9 - a^2} =\)

\(=\frac{a}{a^2 - 9} - \frac{3}{a^2 - 9} = \)

\(=\frac{a - 3}{a^2 - 9} = \frac{\cancel{a - 3}}{\cancel{(a-3)}(a+3)} = \)

\(=\frac{1}{a + 3}. \)

е) \(\frac{y^2}{y - 1} + \frac{1}{1 - y} =\)

\(=\frac{y^2}{y - 1} - \frac{1}{y - 1} = \frac{y^2 - 1}{y - 1} =\)

\(=\frac{\cancel{(y-1)}(y+1)}{\cancel{y - 1}} = y + 1. \)

Пояснения:

1) При одинаковых по модулю, но противоположных по знаку знаменателях удобно заменить один из знаменателей на противоположный, чтобы привести дроби к общему знаменателю :

\(a-b=-(b-a)\).

а) \(q - p = -(p - q)\).

б) \(b - a = -(a - b)\).

в) \(1 - x = -(x - 1)\).

г) \(b - 2a = -(2a - b)\).

д) \(9 - a^2 = -(a^2 - 9)\).

е) \(1 - y = -(y - 1)\).

2) Если числитель или знаменатель дроби заменить на противоположное выражение и при этом поменять знак перед дробью, то получится дробь, равная данной, то есть

\( \frac{A}{B} = -\frac{-A}{B} = -\frac{A}{-B},\)

где \(A\) и \(B\) - многочлены, причем \(B\) ненулевой многочлен.

3) При сложении и вычитании дробей с одинаковыми знаменателями складываются (или вычитаются) их числители, а знаменатель остаётся тем же:

\( \frac{A}{D} + \frac{B}{D} = \frac{A + B}{D},\)

\(\frac{A}{D} - \frac{B}{D} = \frac{A - B}{D}. \)

4) Затем, если возможно, числитель и (или) знаменатель полученной дроби раскладываем на множители, используя следующие приемы:

- вынесение общего множителя за скобки:

\(ax+bx=(a+b)x\);

- разность квадратов двух выражений:

\(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\).

5) Если возможно, сокращаем дробь на общий множитель числителя и знаменателя.

а) \( \frac{x^2}{(x-5)^2} - \frac{25}{(5-x)^2} =\)

\(=\frac{x^2}{(x-5)^2} - \frac{25}{(x-5)^2} = \)

\(=\frac{x^2 - 25}{(x-5)^2} = \frac{\cancel{(x-5)}(x+5)}{(x-5)^{\cancel{2}}} =\)

\(=\frac{x+5}{x-5}. \)

б) \( \frac{x^2+25}{(x-5)^3} + \frac{10x}{(5-x)^3} =\)

\(=\frac{x^2+25}{(x-5)^3} - \frac{10x}{(x-5)^3} =\)

\(=\frac{x^2 + 25 - 10x}{(x-5)^3} =\)

\(=\frac{x^2 - 10x + 25}{(x-5)^3} =\)

\(=\frac{\cancel{(x-5)^2}}{(x-5)^{\cancel{3}}} = \frac{1}{x-5}. \)

Пояснения:

1) При четных степенях  значения противоположных выражений равны, поэтому в пункте а) имеем:

\((5-x)^2=(x-5)^2\).

При нечетных степенях  значения противоположных выражений противоположны, поэтому в пункте б) имеем:

\((5-x)^3=-(x-5)^3\).

2) Если числитель или знаменатель дроби заменить на противоположное выражение и при этом поменять знак перед дробью, то получится дробь, равная данной, то есть

\( \frac{A}{B} = -\frac{-A}{B} = -\frac{A}{-B},\)

где \(A\) и \(B\) - многочлены, причем \(B\) ненулевой многочлен.

3) При сложении и вычитании дробей с одинаковыми знаменателями складываются (или вычитаются) их числители, а знаменатель остаётся тем же:

\( \frac{A}{D} + \frac{B}{D} = \frac{A + B}{D},\)

\(\frac{A}{D} - \frac{B}{D} = \frac{A - B}{D}. \)

4) Затем, если возможно, числитель и (или) знаменатель полученной дроби раскладываем на множители, используя следующие приемы:

- разность квадратов двух выражений:

\(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\);

- квадрат разности двух выражений:

\((a-b)^2 = a^2 - 2ab +b^2\);

- свойство степени:

\(a^ma^n = a^{m+n}\).

5) Если возможно, сокращаем дробь на общий множитель числителя и знаменателя.