Упражнение 1306 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 285

\(x_1:x_2=x_3:x_4\).

\(x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2 = 793\).

Пусть \(x_2 = m\) и \(x_4 = n\), тогда

\(x_1 = m + 6\), а \(x_3 = n+5\).

Составим систему:

\( \begin{cases} x_1:x_2=x_3:x_4 , \\[4pt] x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2 = 793 \end{cases} \)

\( \begin{cases} (m+6):m=(n+5):n , \\[4pt] (m+6)^2 + m^2 + (n+5)^2 + n = 793 \end{cases} \)

\( \begin{cases} \frac mm+\frac6m=\frac nn+\frac5n , \\[4pt] m^2+12m+36 + m^2 + n^2 + 10n + 25 + n^2 = 793 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 1+\frac6m=1+\frac5n , \\[4pt] 2m^2+2n^2+12m + 10n +61- 793=0 \end{cases} \)

\( \begin{cases} \frac6m=\frac5n , \\[4pt] 2m^2+2n^2+12m + 10n +61- 793=0 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 5m=6n , \\[4pt] 2m^2+2n^2+12m + 10n - 732=0 \end{cases} \)

\( \begin{cases} m=\frac65n , \\[4pt] 2\cdot(\frac65n)^2+2n^2+12\cdot\frac65b + 10n - 732=0 \end{cases} \)

\(2\cdot(\frac65n)^2+2n^2+12\cdot\frac65n + 10n - 732=0\)

\(\frac{72}{25}n^2+2n^2+\frac{72}{5}n + 10n - 732=0\)  \(/\times25\)

\(72n^2+50n^2+360n+250n-18300 = 0\)

\(122n^2+610n - 18300 = 0\)   \(/ : 122\)

\(n^2+5n - 150 = 0\) 

\(a = 1\),   \(b = 5\),   \(c = -150\)

\(D = b^2 - 4ac=\)

\(=5^2 - 4\cdot1\cdot(-150)=\)

\(=25+600 = 625\),   \(\sqrt D = 25\).

\(n_{1,2} =\frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\)

\(n_1 = \frac{-5+25}{2\cdot1} = \frac{20}{2}=10\).

\(n_2 = \frac{-5-25}{2\cdot1} = -\frac{30}{2}=-15\).

1) Если \(n = 10\), то

\(m = \frac65\cdot10 = \frac{60}{5} = 12\).

\(x_1 = m + 6 = 12 + 6 = 18\),

\(x_2 = m = 12\),

\(x_3 = n+5 = 10 + 5 = 15\).

\(x_4 = n = 10\).

2) Если \(n = -15\), то

\(m_2 = \frac65\cdot(-15) = -\frac{90}{5} = -18\).

\(x_1 = m + 6 = -18 + 6 = -12\),

\(x_2 = m = -18\),

\(x_3 = n+5 = -15 + 5 = -10\).

\(x_4 = n = -15\).

Ответ: \(x_1 = 18\), \(x_2 = 12\), \(x_3 = 15\), \(x_4= 10\) или \(x_1 = -12\), \(x_2 = -18\), \(x_3 = -10\), \(x_4= -15\).

Пояснения:

Вводим обозначения согласно условию:

Пусть \(x_2 = m\) и \(x_4 = n\), тогда

\(x_1 = m + 6\), а \(x_3 = n+5\).

Составляем систему уравнений, учитывая введенные обозначения:

\( \begin{cases} (m+6):m=(n+5):n , \\[4pt] (m+6)^2 + m^2 + (n+5)^2 + n = 793. \end{cases} \)

Решаем систему способом подстановки и находим два решения системы, исходя из которых получаем два варианта для членов пропорции:

1) \(x_1 = 18\), \(x_2 = 12\), \(x_3 = 15\), \(x_4= 10\);

2) \(x_1 = -12\), \(x_2 = -18\), \(x_3 = -10\), \(x_4= -15\).