Упражнение 1305 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 285

Пусть \(x\) - цифра десятков искомого числа, а \(y\) - цифра единиц. Тогда искомое число: \(\overline{xy}=10x + y\).

Составим систему уравнений:

\[ \begin{cases} y = x - 3, \\ (10x + y)(10y + x) = 574. \end{cases} \]

\[ \begin{cases} y = x - 3, \\ (10x + (x - 3))(10(x - 3) + x) = 574. \end{cases} \]

\[ (10x + (x - 3))(10(x - 3) + x) = 574 \]

\[ (10x + x - 3)(10x - 30 + x) = 574 \]

\[ (11x - 3)(11x - 30) = 574 \]

\[ 121x^2 - 330x - 33x + 90 = 574 \]

\[ 121x^2 - 363x + 90 = 574 \]

\[ 121x^2 - 363x + 90 - 574=0 \]

\( 121x^2 - 363x - 484 = 0 \)  \(/ : 121\)

\[ x^2 - 3x - 4 = 0. \]

\(a = 1\),  \(b = -3\),  \(c = -4\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=(-3)^2 - 4\cdot1\cdot(-4)=\)

\(9 + 16 = 25\),   \(\sqrt D = 5\).

\(x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\)

\( x_1 = \frac{3 + 5}{2\cdot1} = \frac{8}{2} = 4. \)

\( x_2 = \frac{3 - 5}{2\cdot1} = -\frac{2}{2} = -1 \) - не удовлетворяет условию.

\(y = 4 - 3 = 1\)

\(41\) - искомое число.

Ответ: \(41.\)

Пояснения:

Решаем задачу с помощью системы уравнений.

Пусть искомое число \(10x + y\), где \(x\) — число десятков, \(y\) — число единиц. Число, записанное в обратном порядке, имеет вид \(10y + x.\) По условию \(y = x - 3\), и произведение чисел равно \(574.\) Получим систему из двух уравнений:

\[ \begin{cases} y = x - 3, \\ (10x + y)(10y + x) = 574. \end{cases} \]

При решении системы способом подстановки получаем квадратное уравнение:

\[ x^2 - 3x - 4 = 0, \]

которое имеет два корня \(x_1 = 4\) и \(x_2=-1\).

Но отрицательный корень не подходит, так как мы находим цифры.

Значит, искомое число содержит 4 десятка и 1 единицу, так как \(4 - 3 = 1\), то есть искомое число: \(41\).