Упражнение 1311 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 285

\(y = x + \dfrac{1}{x}\)

Область определения: \(x \ne 0\).

Пояснения:

Основные понятия:

Функция \(y = x + \dfrac{1}{x}\) — это сумма линейной функции \(y = x\) и обратной пропорциональности \(y = \dfrac{1}{x}\).

Область определения:

Так как знаменатель не может быть равен нулю, то функция определена при всех \(x \ne 0\).

Асимптоты:

Вертикальная асимптота — это прямая, где функция не определена, то есть \(x=0\).

Наклонная асимптота — прямая \(y=x\), так как при \(|x|\to\infty\) слагаемое \(\frac{1}{x}\) становится очень маленьким, и функция приближается к \(y=x\).

Форма графика:

Для \(x>0\) график проходит выше прямой \(y=x\), потому что \(\frac{1}{x}>0\), следовательно \(y>x\).

Для \(x<0\) график проходит ниже прямой \(y=x\), потому что \(\frac{1}{x}<0\), следовательно \(y

Таким образом, график состоит из двух ветвей: одна в первой четверти, другая — в третьей, обе приближаются к асимптотам \(x=0\) и \(y=x\), но не пересекают их.

Строим графики по точкам:

Если \(x = -4\), то

\(y = -4 + \dfrac{1}{-4} = -4 - \dfrac{1}{4} = -4\dfrac{1}{4}\).

Если \(x = -4\), то

\(y = -3 + \dfrac{1}{-3} = -3 - \dfrac{1}{3} = -3\dfrac{1}{3}\).

Если \(x = -2\), то

\(y = -2 + \dfrac{1}{-2} = -2 - \dfrac{1}{2} = -2\dfrac{1}{2}\).

Если \(x = -1\), то

\(y = -1 + \dfrac{1}{-1} = -1 -  1 = -2\).

Если \(x = -\frac12\), то

\(y = -\frac12 + \dfrac{1}{-\frac12} = -\frac12 - 2 = -2\dfrac{1}{2}\).

\(y = -\frac14 + \dfrac{1}{-\frac14} = -\frac14 - 4 = -4\dfrac{1}{4}\).

Аналогично находим значения функции для положительных значений \(x\).