Упражнение 1283 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 283

\( x^{8}+x^{4}+1= (x^{8}+2x^{4}+1) - x^{4}=\)

\(=(x^4 + 1)^2 - x^{4} =\)

\(=(x^4 + 1 - x^2)(x^4 + 1 + x^2)=\)

\(=((x^4 +2x^2 + 1) -2x^2 - x^2)((x^4 + 2x^2 + 1) - 2x^2+ x^2)=\)

\(=((x^2 + 1)^2 - 3x^2)((x^2 + 1)^2 -x^2)=\)

\(=((x^2 + 1)^2 - (\sqrt3x)^2)((x^2 + 1)^2 -x^2)=\)

\(=\bigl(x^{2}+\sqrt3\,x+1\bigr)\bigl(x^{2}-\sqrt3\,x+1\bigr)(x^{2}+x+1)(x^{2}-x+1). \)

Пояснения:

Чтобы представить многочлен

\( x^{8}+x^{4}+1\)

в виде произведения четырёх многочленов ненулевой степени, используем прием выделения квадрата двучлена, учитывая то, что значение выражения не изменится, если к нему прибавить и вычесть одно и то же выражение. При этом помним:

- свойства степени:

\((a^m)^n = a^{mn}\);

\((ab)^n = a^nb^n\);

- свойство арифметического квадратного корня:

\((\sqrt a)^2 = a\);

 - квадрат суммы двух выражений:

\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\);

- разность квадратов двух выражений

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a +b)\).