Упражнение 1287 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 283

Пусть даны числа

\(a_1+b_1\sqrt2\), \(a_2+b_2\sqrt2\).

где \(a_1,b_1,a_2,b_2\) - рациональные числа.

1) \((a_1+b_1\sqrt2)+(a_2+b_2\sqrt2)=\)

\(=(a_1+a_2)+(b_1+b_2)\sqrt2= \)

\(=a +b\sqrt2\),

где \(a = a_1 + a_2\)  и  \(b = b_1+b_2\).

2) \( (a_1+b_1\sqrt2)-(a_2+b_2\sqrt2)=\)

\( =a_1+b_1\sqrt2-a_2-b_2\sqrt2=\)

\(=(a_1-a_2)+(b_1-b_2)\sqrt2= \)

\(=a +b\sqrt2\),

где \(a = a_1 - a_2\)  и  \(b = b_1-b_2\).

3) \( (a_1+b_1\sqrt2)\cdot(a_2+b_2\sqrt2)\)

\(=a_1a_2+a_1b_2\sqrt2+a_2b_1\sqrt2+2b_1b_2 =\)

\(=(a_1a_2+2b_1b_2)+(a_1b_2+a_2b_1)\sqrt2= \)

\(=a +b\sqrt2\),

где \(a = a_1a_2+2b_1b_2\),

\(b = a_1b_2+a_2b_1\).

4) \( \frac{a_1+b_1\sqrt2}{a_2+b_2\sqrt2}=\)

\(=\frac{(a_1+b_1\sqrt2)(a_2-b_2\sqrt2)}{(a_2+b_2\sqrt2)(a_2-b_2\sqrt2)} =\)

\(=\frac{a_1a_2-a_1b_2\sqrt2+a_2b_1\sqrt2-2b_1b_2=}{\,a_2^{2}-2b_2^{2}\,}= \)

\(=\frac{(a_1a_2-2b_1b_2)+(a_2b_1-a_1b_2)\sqrt2}{\,a_2^{2}-2b_2^{2}\,}= \)

\(=\frac{a_1a_2-2b_1b_2}{a_2^2-2b_2^2} +\frac{a_2b_1-a_1b_2}{a_2^2-2b_2^2}\sqrt2=\)

\(=a +b\sqrt2\),

где \(a = \frac{a_1a_2-2b_1b_2}{a_2^2-2b_2^2}\),

\(b = \frac{a_2b_1-a_1b_2}{a_2^2-2b_2^2}\).

Пояснения:

Рациональные числа замкнуты относительно сложения, вычитания и умножения, поэтому коэффициенты при 1 и при \(\sqrt2\) в формулах для суммы/разности/произведения остаются рациональными.

Для частного используется сопряжённый знаменатель \(a_2-b_2\sqrt2\).