Упражнение 1284 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 283

\( \frac{\left(p^{2}-\frac{1}{q^{2}}\right)^{p}\left(p-\frac{1}{q}\right)^{q-p}} {\left(q^{2}-\frac{1}{p^{2}}\right)^{q}\left(q+\frac{1}{p}\right)^{p-q}}=\)

\(= \frac{\bigl((p-\frac{1}{q})(p+\frac{1}{q})\bigr)^{p}\,(p-\frac{1}{q})^{\,q-p}} {\bigl((q-\frac{1}{p})(q+\frac{1}{p})\bigr)^{q}\,(q+\frac{1}{p})^{\,p-q}}=\)

\(= \frac{(p-\frac{1}{q})^p(p+\frac{1}{q})^{p}\,(p-\frac{1}{q})^{\,q-p}} {(q-\frac{1}{p})^q(q+\frac{1}{p})^{q}\,(q+\frac{1}{p})^{\,p-q}}=\)

\(= \frac{(p-\frac{1}{q})^{p+q-p}(p+\frac{1}{q})^{p}} {(q-\frac{1}{p})^q(q+\frac{1}{p})^{q+p-q}}=\)

\(= \frac{(p ^{\color{blue}{\backslash q}} -\frac{1}{q})^{q}(p ^{\color{blue}{\backslash q}} +\frac{1}{q})^{p}} {(q ^{\color{blue}{\backslash p}} -\frac{1}{p})^q(q ^{\color{blue}{\backslash p}} +\frac{1}{p})^{p}}=\)

\(= \frac{(\frac{pq-1}{q})^{q}(\frac{pq+1}{q})^{p}} {(\frac{pq-1}{p})^q(\frac{pq+1}{p})^{p}}=\)

\(=(\frac{pq-1}{q} : \frac{pq-1}{p})^{q}\cdot(\frac{pq+1}{q} : \frac{pq+1}{p})^{p}=\)

\(=(\frac{\cancel{pq-1}}{q} \cdot \frac{p}{\cancel{pq-1}})^{q}\cdot(\frac{\cancel{pq+1}}{q} \cdot \frac{p}{\cancel{pq+1}})^{p}=\)

\(=(\frac{p}{q})^q\cdot(\frac{p}{q})^p = (\frac{p}{q})^{q+p}\).

Допустимые значения переменных:

\( \begin{cases} p\ne 0,\\ q\ne 0,\\ q-\frac{1}{p}\ne 0,\\ q+\frac{1}{p}\ne 0. \end{cases} \)

\( \begin{cases} p\ne 0,\\ q\ne 0,\\ q\ne\frac{1}{p},\\ q\ne-\frac{1}{p}. \end{cases} \)

\( \begin{cases} p\ne 0,\\ q\ne 0,\\ pq\ne1,\\ pq\ne-1. \end{cases} \)

Пояснения:

Сначала при выполнении преобразований для выражений \(p^{2}-\frac{1}{q^{2}}\) и \(q^{2}-\frac{1}{p^{2}}\) используем формулу разности квадратов, согласно которой:

\(p^{2}-\frac{1}{q^{2}} = (p-\frac{1}{q})(p+\frac{1}{q})\),

\(q^{2}-\frac{1}{p^{2}} = (q-\frac{1}{p})(q+\frac{1}{p})\),

при этом учли свойство степени, согласно которому:

\(\frac{1}{q^2} = (\frac1q)^2\)  и  \(\frac{1}{p^2} = (\frac1p)^2\).

Далее применяем свойство умножения степеней с одинаковыми основаниями:

\(a^ma^n = a^{m+n}\), получаем:

\(\frac{(p-\frac{1}{q})^{q}(p+\frac{1}{q})^{p}} {(q-\frac{1}{p})^q(q+\frac{1}{p})^{p}}\).

Затем в каждой скобке приводим дроби к общему знаменателю, получаем:

\(\frac{(\frac{pq-1}{q})^{q}(\frac{pq+1}{q})^{p}} {(\frac{pq-1}{p})^q(\frac{pq+1}{p})^{p}}\).

Применив свойство степени:

\(\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n = (a : b)^n\), имеем:

\((\frac{pq-1}{q} : \frac{pq-1}{p})^{q}\cdot(\frac{pq+1}{q} : \frac{pq+1}{p})^{p}\).

Выполнив деление в скобках, получаем:

\((\frac{p}{q})^q\cdot(\frac{p}{q})^p\).

Откуда по свойству умножения степеней с одинаковыми основаниями, имеем:

\((\frac{p}{q})^{q+p}\).

При определении допустимых значений переменных, учитываем то, что все знаменатели должны быть отличны от нуля.