Упражнение 1288 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 283

\(x=3,\ y=2\) решение уравнения

\((x+y\sqrt2)(x-y\sqrt2)=1\)

\((x+y\sqrt2)^n(x-y\sqrt2)^n=1^n\)

Произведение чисел вида \(a + b\sqrt2\) также можно представить в виде \(a + b\sqrt2\), значит, при возведении в любую степень \(n\) таких чисел их произведение представимо в виде \(a + b\sqrt2\), следовательно, можно получить другие решения данного уравнения. \(n\) - произвольное число, значит, существует бесконечно много других пар натуральных чисел, удовлетворяющих этому уравнению.

Пусть \(n = 2\):

\((x+y\sqrt2)^2(x-y\sqrt2)^2=1^2\)

\((x^2+2xy\sqrt2+(y\sqrt2)^2)(x^2-2xy\sqrt2+(y\sqrt2)^2) = 1\)

\((x^2+2xy\sqrt2+2y^2)(x^2-2xy\sqrt2+2y^2) = 1\)

\(((x^2+2y^2)+2xy\sqrt2)((x^2+2y^2)-2xy\sqrt2) = 1\)

\(a = x^2+2y^2\),   \(b = 2xy\)

\(x=3,\ y=2\)

\(a = 3^2+2\cdot2^2=9+8=17\)

\(b = 2\cdot3\cdot2=12\)

\((17; 12)\) - решение уравнения.

Проверка:

\((17+12\sqrt2)(17-12\sqrt2)=1\)

\(17^2 - (12\sqrt2)^2 = 1\)

\(17^2 - 144 \cdot 2 = 1\)

\(289 - 288 = 1\)

\(1 = 1\)

Пояснения:

При доказательстве использовали утверждение из номера 1287, а именно то, что произведение чисел вида

\(a+b\sqrt2\), где \(a\) и \(b\) — рациональные числа, могут быть представлены в таком же виде.

Разность квадратов двух выражений:

\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\).

Свойство степени:

\((ab)^n = a^nb^n\).

Свойство корня:

\((\sqrt a)^2 = a\).