Упражнение 1281 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 283

\( y=\sqrt{20+2\sqrt{91+6x-x^{2}}}-\sqrt{20-2\sqrt{91+6x-x^{2}}} \)

\(y\) и \(x\) - целые числа.

\( y^2=\left(\sqrt{20+2\sqrt{91+6x-x^{2}}}-\sqrt{20-2\sqrt{91+6x-x^{2}}}\right)^2 \)

\( y^2=\left(\sqrt{20+2\sqrt{91+6x-x^{2}}}\right)^2-2\sqrt{20+2\sqrt{91+6x-x^{2}}}\cdot\sqrt{20-2\sqrt{91+6x-x^{2}}}+\left(\sqrt{20-2\sqrt{91+6x-x^{2}}}\right)^2 \)

\( y^2=20+\cancel{2\sqrt{91+6x-x^{2}}}-2\sqrt{(20^2-(2\sqrt{91+6x-x^{2}})^2}+20-\cancel{2\sqrt{91+6x-x^{2}}} \)

\( y^2=40-2\sqrt{400-4\cdot(91+6x-x^{2})} \)

\( y^2=40-2\sqrt{400-364-24x+4x^{2}} \)

\( y^2=40-2\sqrt{36-24x+4x^{2}} \)

\( y^2=40-2\sqrt{4(9-6x+x^{2})} \)

\( y^2=40-2\cdot2\sqrt{(x-3)^{2}} \)

\( y^2=40-4|x-3| \)

\( y^2=4(10-|x-3|) \)

\(y \ge 0\)

\( y=\sqrt{4(10-|x-3|)} \)

\( y=2\sqrt{10-|x-3|} \)

1) Если \(x - 3 \ge 0\), то есть \(x \ge3\), то

\( y=2\sqrt{10-(x-3)} =\)

\(=2\sqrt{10 - x + 3} = 2\sqrt{13 - x} \)

Если \(x = 4\), то

\(y = 2\sqrt{13 - 4} = 2\sqrt{9} = 2\cdot3 = 6 \) - целое число.

Если \(x = 9\), то

\(y = 2\sqrt{13 - 9} = 2\sqrt{4} = 2\cdot2 = 4 \) - целое число.

Если \(x = 12\), то

\(y = 2\sqrt{13 - 12} = 2\sqrt{1} = 2\cdot1 = 2 \) - целое число.

Если \(x = 13\), то

\(y = 2\sqrt{13 - 13} = 2\sqrt{0} = 0 \) - целое число.

2) Если \(x - 3 < 0\), то есть \(x < 3\), то

\( y=2\sqrt{10+(x-3)} =\)

\(=2\sqrt{10+x - 3} =2\sqrt{7+x} \)

Если \(x = -7\), то

\(y = 2\sqrt{7+(-7)}= 2\sqrt0 = 0 \) - целое число.

Если \(x = -6\), то

\(y = 2\sqrt{7+(-6)}= 2\sqrt1 = 2\cdot1 = 2 \) - целое число.

Если \(x = -3\), то

\(y = 2\sqrt{7+(-3)}= 2\sqrt4 = 2\cdot 2 = 4 \) - целое число.

Ответ: \(-7; -6; -3; 4; 9; 12; 13.\)

Пояснения:

Левую и правую части функции возводим в квадрат, учитывая то, что \(y\ge0\), так как

\(\sqrt{20+2\sqrt{91+6x-x^{2}}}\ge\sqrt{20-2\sqrt{91+6x-x^{2}}} \).

При выполнении преобразований использованы следующие приемы и формулы:

- свойства арифметического квадратного корня:

\((\sqrt a)^2 = a\);

\(\sqrt a\cdot\sqrt b = \sqrt{ab}\);

\(\sqrt{a^2} = |a|\);

- квадрат разности двух выражений:

\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\);

- разность квадратов двух выражений:

\((a - b)(a + b) = a^2 - b^2\);

- свойства модуля:

\(|a| = a\), при \(a \ge0\),

\(|a| = -a\), при \(a < 0\).

После преобразований получили

\( y=2\sqrt{10-|x-3|} \).

Далее рассмотрели два случая:

\(x - 3 \ge 0\)  и  \(x - 3 < 0\).

В каждом случае подобрали такие целые значения \(x\), при которых \(y\) - целое число.