Упражнение 1286 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 283

\(x^{2} - y^{2} = 69\)

\(x\) и \(y\) - натуральные числа.

\( (x - y)(x + y) = 69\)

\( 69 = 1 \cdot 69 = 3 \cdot 23 = 23\cdot3 = 69 \cdot1\)

1) \(\begin{cases}x - y = 1, \\ x + y = 69\end{cases}\)    \((+)\)

\(\begin{cases} 2x = 70,   / : 2 \\ x + y = 69\end{cases}\)

\(\begin{cases} x = \frac{70}{2}, \\ y = 69 - x \end{cases}\)

\(\begin{cases} x = 35, \\ y = 69 - 35 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x = 35, \\ y =34 \end{cases}\)

2) \(\begin{cases}x - y = 3, \\ x + y = 23 \end{cases}\)    \((+)\)

\(\begin{cases} 2x = 26,  / : 2 \\ x + y = 23 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x = \frac{26}{2}, \\ y = 23 - x \end{cases}\)

\(\begin{cases} x = 13, \\ y = 23 - 13 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x = 13, \\ y = 10 \end{cases}\)

3) \(\begin{cases}x - y = 69, \\ x + y = 1\end{cases}\)    \((+)\)

\(\begin{cases} 2x = 70,   / : 2 \\ x + y = 1\end{cases}\)

\(\begin{cases} x = \frac{70}{2}, \\ y = 1 - x \end{cases}\)

\(\begin{cases} x = 35, \\ y = 1 - 35 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x = 35, \\ y =-34 \end{cases}\)

\(-34\) - не является натуральным.

4) \(\begin{cases}x - y = 23, \\ x + y = 3 \end{cases}\)    \((+)\)

\(\begin{cases} 2x = 26,  / : 2 \\ x + y = 3 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x = \frac{26}{2}, \\ y = 3 - x \end{cases}\)

\(\begin{cases} x = 13, \\ y = 3 - 13 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x = 13, \\ y = -10 \end{cases}\)

\(-10\) - не является натуральным числом.

Пояснения:

Формула разности квадратов: \[ x^{2} - y^{2} = (x - y)(x + y). \] Позволяет заменить квадратное уравнение на линейное с целыми множителями.

Учитывая то, что \(x\) и \(y\) по условию натуральные числа, разность \(x - y\) и сумма \(x + y\) также будут натуральными числами, тогда:

\( 69 = 1 \cdot 69 = 3 \cdot 23 = 23\cdot3 = 69 \cdot1\).

Далее, учитывая полученные множители, составляем системы уравнений с двумя переменными и решаем их способом сложения.