Подмножество. Операции над множествами. Объединение и пересечение множеств / Множества / Справочник по математике 5-9 класс

Рассмотрим множества {2, 4, 6, 8} и {4; 8}. Каждый элемент второго множества принадлежит также и первому, но не каждый элемент первого множества принадлежит второму множеству. Тогда говорят, что второе множество является подмножеством первого.

Множество А называют подмножеством множества В, если каждый элемент множества А является элементом множества В. Пустое множество считают подмножеством любого другого множества.

Если множество А является подмножеством множества В, то в символическом виде это записывают: или (читают: "множество А - подмножество множества В" или "множество В содержит множество А").

Для иллюстрации соотношений между множествами пользуются схемами, которые называют диаграммами Эйлера. Изобразить то, что можно следующим образом:

Если использовать данный рисунок можно сделать такие выводы:

1) для того чтобы элемент принадлежал множеству В, достаточно, чтобы он принадлежал множеству А;

2) для того чтобы элемент принадлежал множеству А, необходимо, чтобы он принадлежал множеству В.

Определение:

Множество, состоящее из элементов, входящих в каждое из данных множеств, называется их пересечением. То есть пересечением множеств А и В называют множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих и множеству А, и множеству В.

Рассмотрим множество А = {1, 3, 5, 7, 9} и В = {1, 3, 9}. Пересечение множеств А и В составляют элементы 1 и 9.

Пересечение множеств обозначают с помощью символа - . Тогда для множеств А и В можем записать:

АВ = {1, 9}.

Изобразить пересечение множеств А и В с помощью диаграмм Эйлера можно следующим образом:

Определение:

Областью определения уравнения

называют множество значений переменной , при которых имеют смысл обе части уравнения.

Определение:

Множество, состоящее из элементов, входящих хотя бы в одно из данных множеств, называется их объединением. То есть объединением множеств А и В называют множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из этих множеств: или множеству А, или множеству В.

Рассмотрим два множества А = {1, 7, 9, 11} и В = {1, 3, 9, 13}. Объединение множеств А и В составляют элементы 1, 3, 7, 9, 11 и 13.

Объединение множеств обозначают с помощью символа - . Тогда для множеств А и В можем записать:

АВ = {1, 3, 7, 9, 11, 13}.

Изобразить объединение множеств А и В с помощью диаграмм Эйлера можно следующим образом:

Если у двух множеств нет общих элементов, то пересечением этих множеств является пустое множество. Например, если Х = {1, 3, 5, 7, 9} и У = {0, 2, 4, 6, 8}, то ХУ = , а ХУ = {0, 1, 2. 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.