Упражнение 871 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 194

а) \(3 < a < 4\)

\(5\cdot3 < 5a < 5 \cdot4\)

\(15 < 5a < 20\).

б) \(3 < a < 4\)

\(-4 < -a < -3\)

в) \(3 < a < 4\)

\(3 + 2 < a + 2 < 4 + 2\)

\(5 < a + 2 < 6\)

г) \(3 < a < 4\)

\(-4 < -a < -3\)

\(5 - 4 < 5 - a < 5 - 3 \)

\(1 < 5 - a < 2\).

д) \(3 < a < 4\)

\(0{,}2 \cdot 3 + 3 < 0{,}2a + 3 < 0{,}2 \cdot 4 + 3\)

\(3{,}6 < 0{,}2a + 3 < 3{,}8\).

Пояснения:

При оценке значений выражений используем свойства неравенств:

1. Если к частям неравенства прибавить или вычесть одно и то же число, знак неравенства сохраняется.

2. Если части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, знак неравенства сохраняется.

3. Если части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный.

а) \(\frac{x^2 - 4}{6} - \frac{x}{2} = \frac{x - 4}{3}\)   \( /\times 6\)

\(x^2 - 4 - 3x = 2(x - 4)\)

\(x^2 - 3x - 4 = 2x - 8\)

\(x^2 - 3x - 4 - 2x + 8 = 0\)

\(x^2 - 5x + 4 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = -5\),  \(c = 4\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 =\)

\(= 25 - 16 = 9\),     \(\sqrt D = 3\).

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\).

\(x_1= \frac{-(-5) + 3}{2}=\frac82 = 4\).

\(x_2= \frac{-(-5)-3}{2}=\frac22 = 1\).

Ответ: \(1;   4\).

б) \(\frac{2x^2 - 1}{2} - x + \frac{1}{2} = 0\)   \( /\times 2\)

\(2x^2 - 1 - 2x + 1 = 0\)

\(2x^2 - 2x = 0\)   \(/ : 2\)

\(x^2 - x = 0\).

\(x(x - 1) = 0\).

\(x = 0\)   или   \(x - 1 = 0\)

                       \(x = 1\)

Ответ: \(0,\; 1\).

Пояснения:

Использованные приёмы и формулы:

1. В каждом уравнении сначала избавились от знаменателей, для этого обе части уравнения умножили на общий знаменатель дробей, входящих в рассматриваемое уравнение.

2) Раскрытие скобок:

\(a(b+c) = ab + ac\).

3. Все слагаемые из правой части уравнения перенесли в левую, изменив их знаки на противоположные, и привели подобные слагаемые в левой части уравнения. В пункте а) получили полное квадратное уравнение вида \(ax^2+bx+c=0\). В пункте б) получили неполное квадратное уравнение вида \(ax^2 + bx = 0\).

4. Количество корней полного квадратного уравнения зависит от дискриминанта. Формула дискриминанта:

\(D=b^2-4ac\).

– если \(D>0\), то уравнение имеет два корня:

\(x_1 =\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\);

\(x_2 =\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\).

5. Неполное квадратное уравнение \(ax^2 + bx = 0\) решается разложением на множители (выносим \(x\) за скобки), учитывая то, что произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.