Упражнение 478 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\displaystyle y=\frac{\sqrt{x^2}}{x}=\frac{|x|}{x}\),    \(x\neq0\).

\(y=\begin{cases} 1,&x>0,\\ -1,&x<0. \end{cases}\)

б) \(\displaystyle y=\frac{ -2\sqrt{x^2}}{x}=\frac{-2|x|}{x}\),    \(x\neq0\).

\(y=\begin{cases} -2,&x>0,\\ 2,&x<0. \end{cases}\)

в) \(\displaystyle y=x\sqrt{x^2}=x\cdot|x|\)

\(y=\begin{cases} x^2,&x\ge0,\\ -\,x^2,&x<0. \end{cases}\)

\(y=x^2\),   \(x \ge 0\)

\(y=-x^2\),   \(x \le 0\)

г) \(\displaystyle y=-x\sqrt{x^2}=-x\cdot|x|\)

\(y=\begin{cases} -\,x^2,&x\ge0,\\ x^2,&x<0. \end{cases}\)

\(y=-x^2\),   \(x \ge 0\)

\(y=x^2\),   \(x \le 0\)

Пояснения:

Основное правило:

\(\sqrt{x^2}=|x|\) для любого \(x\).

– Определение модуля:

\(|a| = a\), при \(a \ge 0\);

\(|a| = -a\), при \(a \le 0\).

– Функция \(y=\frac{|x|}{x}\) не существует при \(x=0\), так как на нуль делить нельзя, поэтому на графике точки с абсциссой \(x=0\) "выколотые" и график этой функции состоит из двух кусочков (лучей, параллельных оси \(x\)) \(x = 1\) при \(x \ge 0\)  и \(y = -1\) при \(x<0\).

– Функция \(y=\frac{ -2|x|}{x}\) не существует при \(x=0\), так как на нуль делить нельзя, поэтому на графике точки с абсциссой \(x=0\) "выколотые" и график этой функции состоит из двух кусочков (лучей, параллельных оси \(x\)) \(y=-2\) при \(x \ge 0\)  и \(y = 2\) при \(x<0\).

– Функция \(y = x\cdot|x|\) определена при всех значениях \(x\) (выколотых точек нет), графиком является кусочно-заданная парабола:

\(y=x^2\) для \(x\ge0\) и

\(y = -x^2\) для \(x<0\).

– Функция \(y = -x\cdot|x|\) определена при всех значениях \(x\) (выколотых точек нет), графиком является кусочно-заданная парабола:

\(y=-x^2\) для \(x\ge0\) и

\(y = x^2\) для \(x<0\).

а) \(15\sqrt{20}\cdot0{,}1\sqrt{45} =\)

\(=15\cdot0{,}1\;\sqrt{20\cdot45} =\)

\(=1{,}5\sqrt{900} =1{,}5\cdot30 =45\).

б) \(0{,}3\sqrt{10}\cdot0{,}2\sqrt{15}\cdot0{,}5\sqrt{6} =\)

\(=(0{,}3\cdot0{,}2\cdot0{,}5)\;\sqrt{10\cdot15\cdot6} =\)

\(=0{,}03\sqrt{900} =0{,}03\cdot30 =0{,}9\).

в) \( \frac{8\sqrt{5}}{0{,}4\sqrt{0{,}2}} =\frac{8}{0{,}4}\cdot\sqrt{\frac{5}{0{,}2}} =\)

\(=\frac{80}{4}\cdot\sqrt{\frac{50}{2}} =20\sqrt{25} =\)

\(=20\cdot5 =100\).

г) \( \frac{\sqrt{0{,}48}}{5\sqrt{12}} =\frac15\cdot\sqrt{\frac{0,48}{12}}=\)

\(=0,2\cdot\sqrt{0,04}=0,2\cdot0,2 = 0,04\)

Пояснения:

Использованные приемы:

1) От перемены мест множителей произведение не изменяется.

2) Свойство корня из произведения:

\(\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}\).

3) Свойство корня из дроби:

\(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}\).

4) Произведение дробей:

\(\frac{ab}{cd} = \frac{a}{c}\cdot\frac{b}{d}\).