Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№481 учебника 2023-2025 (стр. 111):
(Задача-исследование.) Верно ли, что при любом натуральном \(n\) значение выражения
\[\sqrt{n(n+1)(n+2)(n+3)+1}\]
является натуральным числом?
1) Выберите произвольное значение \(n\) и проверьте, является ли натуральным числом соответствующее значение корня.
2) Подумайте, как удобно сгруппировать множители в произведении \(n(n+1)(n+2)(n+3)\), чтобы представить подкоренное выражение в виде квадрата.
3) Выполните преобразования и дайте ответ на вопрос задачи.
№481 учебника 2013-2022 (стр. 112):
Вычислите:
а) \(3\sqrt{(-2)^6}\);
б) \(-2\sqrt{10^4}\);
в) \(-3\sqrt{5^4}\);
г) \(0{,}1\sqrt{2^{10}}\);
д) \(0{,}1\sqrt{(-3)^8}\);
е) \(100\sqrt{0{,}1^{10}}\);
ж) \(-\sqrt{(-2)^{12}}\);
з) \(2{,}5\sqrt{(-0{,}1)^4}\).
№481 учебника 2023-2025 (стр. 111):
Вспомните:
№481 учебника 2013-2022 (стр. 112):
Вспомните:
№481 учебника 2023-2025 (стр. 111):
1) \(\sqrt{n(n+1)(n+2)(n+3)+1}\)
Пусть \(n=1\), тогда
\(\sqrt{1\cdot(1+1)\cdot(1+2)\cdot(1+3)+1}=\)
\(=\sqrt{1\cdot2\cdot3\cdot4+1}=\sqrt{24+1}=\)
\(=\sqrt{25}=5\) - натуральное число.
2) \(\sqrt{n(n+1)(n+2)(n+3)+1}=\)
\(=\sqrt{n(n+3)(n+1)(n+2)+1}=\)
\(=\sqrt{(n^2+3n)(n^2 + 3n+2)+1}\)
Пусть \(n^2+3n = a\), тогда
\(\sqrt{x(x+2)+1}=\)
\(=\sqrt{x^2 + 2x + 1} =\)
\(=\sqrt{(x + 1)^2} =|x+1|= \)
\(=x+1=n^2 + 3n+1\) - натуральное число, так как \(n\) - натуральное число.
Пояснения:
Использованные приёмы и формулы:
– Группировка множителей:
\(n(n+1)(n+2)(n+3) =\)
\(=(n(n+3))\cdot((n+1)(n+2))\),
то есть группируем крайние и средние множители.
– Для упрощения преобразований вводим замену: \(n^2+3n = a\).
– Квадрат суммы двух выражений:
\(a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2\).
– Свойство корня:
\(\sqrt{(a+1)^2}=|a+1| = a+1\)
для \(a+1>0\).
Выполнив обратно подстановку вместо \(a\) выражения \(n^2+3n\), получаем то, что выражение \(n^2+3n+1\) при любом натуральном \(n\) всегда является натуральным числом.
№481 учебника 2013-2022 (стр. 112):
а) \(3\sqrt{(-2)^6}=3\sqrt{((-2)^3)^2} = \)
\(=3\cdot\bigl|(-2)^3\bigr| = 3\cdot|{-8}| =\)
\(=3\cdot8 = 24\)
б) \(-2\sqrt{10^4}=-2\sqrt{(10^2)^2} = \)
\(=-2\cdot\bigl|10^2\bigr| = -2\cdot100 = -200\)
в) \(-3\sqrt{5^4} =-3\sqrt{(5^2)^2} =\)
\(=-3\cdot\bigl|5^2\bigr| = -3\cdot25 = -75\)
г) \(0{,}1\sqrt{2^{10}} =0{,}1\sqrt{(2^5)^2} =\)
\(=0{,}1\cdot\bigl|2^5\bigr| = 0{,}1\cdot32 = 3{,}2\)
д) \(0{,}1\sqrt{(-3)^8} =0{,}1\sqrt{((-3)^4)^2} = \)
\(=0{,}1\cdot\bigl|(-3)^4\bigr| = 0{,}1\cdot81 = 8{,}1\)
е) \(100\sqrt{0{,}1^{10}} =100\sqrt{(0{,}1^5)^2}=\)
\(=100\cdot\bigl|0{,}1^5\bigr| = 100\cdot0,00001 =\)
\(=0{,}001\)
ж) \(-\sqrt{(-2)^{12}} =-\sqrt{((-2)^6)^2}=\)
\(=-\bigl|(-2)^6\bigr|=-\bigl|64\bigr| = -64\)
з) \(2{,}5\sqrt{(-0{,}1)^4} =\)
\(=2{,}5\sqrt{((-0{,}1)^2)^2}=\)
\(=2{,}5\cdot\bigl|(-0{,}1)^2\bigr| = 2{,}5\cdot0{,}01 = \)
\(=0{,}025\)
Пояснения:
Использованные правила и формулы:
– Свойство корня из степени:
\( \sqrt{(x^n)^2} = |x^n|.\)
– Свойства степени:
\((a^m)^n = a^{mn}\);
\((-a)^n = a^n\), если \(n\) - четное число;
\((-a)^n = -a^n\), если \(n\) - нечетное число.
– Определение модуля:
\(|a| = a\), при \(a \ge 0\);
\(|a| = -a\), при \(a \le 0\).
Вернуться к содержанию учебника