Упражнение 1125 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 223

Пусть \(x\) (км/ч) скорость теплохода против течения, а через \(y\) (км/ч) — скорость по течению.

Составим систему уравнений:

\( \begin{cases} 2x + 3y = 240,  /\times2 \\ 3x - 2y = 35   /\times3 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 4x + 6y = 480, \\ 9x - 6y = 105 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 13x = 585, \\ 9x - 6y = 105 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = \frac{585}{13}, \\ 6y = 9x - 105 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = 45, \\ 6y = 9\cdot45 - 105 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = 45, \\ 6y = 405 - 105 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = 45, \\ 6y = 300 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = 45, \\ y = \frac{300}{6} \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = 45, \\ y = 50 \end{cases} \)

Ответ: скорость теплохода против течения45 км/ч,по течению - 50 км/ч.

Пояснения:

Использованные приёмы:

1) Введение переменных \(x\) и \(y\) для искомых скоростей.

2) Составление системы уравнений по условию задачи.

3) Решение системы методом сложения: складываем почленно уравнения системы так, чтобы в новом уравнении исчезла одна из переменных. После сложения уравнений системы получается линейное уравнение с одной переменной, решение которого дает значение этой переменной. Там, где необходимо, одно из уравнений или оба уравнения делим или умножаем на числа так, чтобы перед одной из переменных получить противоположные коэффициенты, которые при сложении приведут к сокращению выражений с этой переменной.

4) Уравнение вида \(ax = b\) называется линейным и при \(a \neq 0\) имеет единственный корень \(x=\frac{b}{a}\).

5) Подстановка: после нахождения одной переменной подставляем её значение в одно из исходных уравнений для вычисления значения второй переменной.

\( (x^3 - y^3)^2 + 2x^3y^3 =\)

\(=(x^2 + y^2)\bigl(x^4 + y^4 - x^2y^2\bigr). \)

Левую часть:

\( (x^3 - y^3)^2 + 2x^3y^3 = \)

\(=(x^3)^2 - 2x^3y^3 + (y^3)^2 + 2x^3y^3 = \)

\(=x^6 - \cancel{2x^3y^3} + y^6 + \cancel{2x^3y^3} = \)

\(=x^6 + y^6. \)

Правая часть:

\( (x^2 + y^2)(x^4 + y^4 - x^2y^2) =\)

\( = x^6 + \cancel{x^2y^4} - \cancel{x^4y^2} + \cancel{x^4y^2} + y^6 - \cancel{x^2y^4} =\)

\(=x^6 + y^6. \)

Тождество доказано.

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

1) Раскрытие квадрата разности:

\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).

2) Приведение подобных членов при сложении:

\(ax + bx = (a+b)x\).

3) Умножение многочлена на многочлен:

\((a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd\).

4) Свойства степени:

\((a^m)^n = a^{mn};\)

\(a^ma^n = a^{m+n}.\)

5) После упрощения обе части свелись к одному и тому же выражению

\(x^6 + y^6\).

Это говорит о том, что тождество доказано.