Упражнение 1109 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( \begin{cases} \tfrac{1}{3}x + \tfrac{1}{4}y - 2 = 0,   /\times12\\ 5x - y = 11; \end{cases} \)

\( \begin{cases} 4x + 3y - 24 = 0,\\ 5x - y = 11;  /\times3 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 4x + 3y = 24,\\ 15x - 3y = 33; \end{cases} \)

\( \begin{cases} 19x  = 57,\\ 15x - 3y = 33; \end{cases} \)

\( \begin{cases} x  = \frac{57}{19},\\ 3y =15x - 33; \end{cases} \)

\( \begin{cases} x  = 3,\\ 3y =15\cdot3 - 33; \end{cases} \)

\( \begin{cases} x  = 3,\\ 3y =45 - 33; \end{cases} \)

\( \begin{cases} x  = 3,\\ 3y =12; \end{cases} \)

\( \begin{cases} x  = 3,\\ y =\frac{12}{3}; \end{cases} \)

\( \begin{cases} x  = 3,\\ y =4. \end{cases} \)

Ответ: \(x  = 3,\) \( y =4.\)

б) \( \begin{cases} 0{,}5x + 0{,}2y = 7,   /\times10 \\ \tfrac{1}{3}x - \tfrac{1}{10}y = 0;   /\times30 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 5x + 2y = 70,   /\times(-2) \\ 10x - 3y = 0; \end{cases} \)

\( \begin{cases} -10x - 4y = -140, \\ 10x - 3y = 0; \end{cases} \)

\( \begin{cases} -7y = -140, \\ 10x - 3y = 0; \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = \frac{140}{7}, \\ 10x = 3y; \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = 20, \\ 10x = 3\cdot20; \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = 20, \\ 10x = 60; \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = 20, \\ x = \frac{60}{10}; \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = 20, \\ x = 6. \end{cases} \)

Ответ: \(x = 6\), \(y = 20\).

в) \( \begin{cases} \tfrac{1}{5}m - \tfrac{1}{6}n = 0,  /\times30 \\ 5m - 4n = 2; \end{cases} \)

\( \begin{cases} 6m - 5n = 0,   /\times(-4) \\ 5m - 4n = 2;   /\times5 \end{cases} \)

\( \begin{cases} -24m + 20n = 0, \\ 25m - 20n = 10; \end{cases} \)

\( \begin{cases} m = 10, \\ 25m - 20n = 10; \end{cases} \)

\( \begin{cases} m = 10, \\ 20n = 25m - 10; \end{cases} \)

\( \begin{cases} m = 10, \\ 20n = 25\cdot10 - 10; \end{cases} \)

\( \begin{cases} m = 10, \\ 20n = 250 - 10; \end{cases} \)

\( \begin{cases} m = 10, \\ 20n = 240; \end{cases} \)

\( \begin{cases} m = 10, \\ n = \frac{240}{20}; \end{cases} \)

\( \begin{cases} m = 10, \\ n = 12. \end{cases} \)

Ответ: \(m = 10, \) \( n = 12.\)

г) \( \begin{cases} \tfrac{1}{6}u - \tfrac{1}{3}v = -3,  /\times6 \\ 0{,}2u + 0{,}1v = 3{,}9;   /\times10 \end{cases} \)

\( \begin{cases} u - 2v = -18,\\ 2u + v = 39;   /\times2 \end{cases} \)

\( \begin{cases} u - 2v = -18,\\ 4u + 2v = 78; \end{cases} \)

\( \begin{cases} 5u = 60,\\ 4u + 2v = 78; \end{cases} \)

\( \begin{cases} u = \frac{60}{5},\\ 2v = 78 - 4u; \end{cases} \)

\( \begin{cases} u = 12,\\ 2v = 78 - 4\cdot12; \end{cases} \)

\( \begin{cases} u = 12,\\ 2v = 78 - 48; \end{cases} \)

\( \begin{cases} u = 12,\\ 2v = 30; \end{cases} \)

\( \begin{cases} u = 12,\\ v = \frac{30}{2}; \end{cases} \)

\( \begin{cases} u = 12,\\ v = 15. \end{cases} \)

Ответ: \(u = 12,\) \( v = 15.\)

Пояснения:

Использованные приёмы:

1) Преобразование уравнений к целым коэффициентам умножением на общий знаменатель дробей, входящих в уравнение, или на 10, 100 и т.д., когда дроби десятичные.

2) Перенос членов из одной части уравнения в другую:

если \(a+b=c+d\), то \(a-d=c-b\).

3) Решение системы методом сложения: складываем почленно уравнения системы так, чтобы в новом уравнении исчезла одна из переменных. Там, где необходимо, одно из уравнений или оба уравнения делим или умножаем на числа так, чтобы перед одной из переменных получить противоположные коэффициенты, которые при сложении приведут к сокращению выражений с этой переменной.

4) После сложения уравнений системы получается линейное уравнение с одной переменной, решение которого дает значение этой переменной.

5) Уравнение вида \(ax = b\) называется линейным и при \(a \neq 0\) имеет единственный корень \(x=\frac{b}{a}\).

6) Подстановка: после нахождения одной переменной подставляем её значение в одно из исходных уравнений для вычисления значения второй переменной.

Объяснение для (а):

Чтобы получить целочисленные коэффициенты перед переменными, первое уравнение системы умножили на 12 (общий знаменатель дробей) и члены, содержащие переменные собрали с левой стороны уравнений, а без переменной - с правой.

Далее второе уравнение умножили на \(3\), тем самым получили противоположные коэффициенты перед переменной \(y\). Затем сложили оба уравнения, так как коэффициенты при \(y\) в них равны по модулю и противоположны: \(3y\) и \(-3y\). В результате переменная \(y\) исчезла и получилось линейное уравнение

\(19x  = 57\), откуда \(x=3\).

Затем подставили найденное значение \(x\) во второе уравнение для нахождения \(y\).

Объяснение для (б):

Чтобы получить целочисленные коэффициенты перед переменными, первое уравнение системы умножили на 10, а второе уравнение - на 30 (общий знаменатель дробей).

Далее первое уравнение умножили на \(-2\), тем самым получили противоположные коэффициенты перед переменной \(x\). Затем сложили оба уравнения, так как коэффициенты при \(x\) в них равны по модулю и противоположны: \(-10x\) и \(10x\). В результате переменная \(x\) исчезла и получилось линейное уравнение

\( -7y = -140\), откуда \(y=2\).

Затем подставили найденное значение \(y\) во второе уравнение для нахождения \(x\).

Объяснение для (в):

Чтобы получить целочисленные коэффициенты перед переменными, первое уравнение системы умножили на 30 (общий знаменатель дробей).

Далее первое уравнение умножили на \(-4\), а второе уравнение - на 5, тем самым получили противоположные коэффициенты перед переменной \(n\). Затем сложили оба уравнения, так как коэффициенты при \(n\) в них равны по модулю и противоположны: \(20n\) и \(-20n\). В результате переменная \(n\) исчезла и получили:

\(m = 10\)

Затем подставили найденное значение \(m\) во второе уравнение для нахождения \(n\).

Объяснение для (г):

Чтобы получить целочисленные коэффициенты перед переменными, первое уравнение системы умножили на 6 (общий знаменатель дробей), а второе уравнение - на 10.

Далее второе уравнение умножили на \(2\), тем самым получили противоположные коэффициенты перед переменной \(v\). Затем сложили оба уравнения, так как коэффициенты при \(v\) в них равны по модулю и противоположны: \(-2v\) и \(2v\). В результате переменная \(v\) исчезла и получилось линейное уравнение

\( 5u = 60\), откуда \(u=12\).

Затем подставили найденное значение \(u\) во второе уравнение для нахождения \(v\).

Пусть \(x\) (км/ч) скорость теплохода против течения, а через \(y\) (км/ч) — скорость по течению.

Составим систему уравнений:

\( \begin{cases} 2x + 3y = 240,  /\times2 \\ 3x - 2y = 35   /\times3 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 4x + 6y = 480, \\ 9x - 6y = 105 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 13x = 585, \\ 9x - 6y = 105 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = \frac{585}{13}, \\ 6y = 9x - 105 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = 45, \\ 6y = 9\cdot45 - 105 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = 45, \\ 6y = 405 - 105 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = 45, \\ 6y = 300 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = 45, \\ y = \frac{300}{6} \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = 45, \\ y = 50 \end{cases} \)

Ответ: скорость теплохода против течения45 км/ч,по течению - 50 км/ч.

Пояснения:

Использованные приёмы:

1) Введение переменных \(x\) и \(y\) для искомых скоростей.

2) Составление системы уравнений по условию задачи.

3) Решение системы методом сложения: складываем почленно уравнения системы так, чтобы в новом уравнении исчезла одна из переменных. После сложения уравнений системы получается линейное уравнение с одной переменной, решение которого дает значение этой переменной. Там, где необходимо, одно из уравнений или оба уравнения делим или умножаем на числа так, чтобы перед одной из переменных получить противоположные коэффициенты, которые при сложении приведут к сокращению выражений с этой переменной.

4) Уравнение вида \(ax = b\) называется линейным и при \(a \neq 0\) имеет единственный корень \(x=\frac{b}{a}\).

5) Подстановка: после нахождения одной переменной подставляем её значение в одно из исходных уравнений для вычисления значения второй переменной.