Упражнение 1072 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\[ \begin{cases} x + y = 4 \\ 2x - y = 2 \end{cases} \]

а) \(x = 3,\ y = 1:\)

\[ \begin{cases} 3 + 1 = 4 \\ 2 \cdot3 - 1 = 2 \end{cases} \]

\[ \begin{cases} 4 = 4 \\ 6-1 = 2 \end{cases} \]

\[ \begin{cases} 4 = 4 \\  5 \ne 2 \end{cases} \]

Пара не является решением системы.

б) \(x = 2,\ y = 2:\)

\[ \begin{cases} 2 + 2 = 4 \\ 2 \cdot 2 - 2 = 2 \end{cases} \]

\[ \begin{cases} 4= 4 \\4 - 2 = 2 \end{cases} \]

\[ \begin{cases} 4= 4 \\2 = 2 \end{cases} \]

Пара является решением системы.

Ответ: а) Нет; б) Да.

Пояснения:

Чтобы проверить, является ли пара чисел решением системы, нужно подставить значения переменных в оба уравнения и убедиться, что оба равенства выполняются.

В первом случае одно из уравнений не выполняется — значит, это не решение. Во втором случае оба равенства верны — это решение системы.

а) \( \begin{cases} 3x + 4y = 0,\\ 2x + 3y = 1; \end{cases} \)

\( \begin{cases} 3x = -4y,\\ 2x + 3y = 1; \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = -\tfrac{4}{3}y,\\ 2\cdot(-\tfrac{4}{3}y) + 3y = 1; \end{cases} \)

\( 2\cdot\bigl(-\tfrac{4}{3}y\bigr) + 3y = 1\)

\(-\tfrac{8}{3}y + 3y = 1\)

\(-2\tfrac{2}{3}y + 3y = 1\)

\(\frac{1}{3}y = 1\)

\(y = 1 : \frac{1}{3}\)

\(y = 1 \cdot 3\)

\(y = 3\)

\( x = -\frac{4}{\cancel3}\cdot \cancel3 = -4. \)

Ответ: \( x = -4, \) \(y = 3\).

б) \( \begin{cases} 7x + 2y = 0,\\ 4y + 9x = 10; \end{cases} \)

\( \begin{cases} 7x = -2y,\\ 4y + 9x = 10; \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = -\tfrac{2}{7}y,\\ 4y + 9\cdot(-\tfrac{2}{7}y) = 10; \end{cases} \)

\( 4y + 9\cdot\bigl(-\tfrac{2}{7}y\bigr) = 10\)

\( 4y - \tfrac{18}{7}y = 10\)

\( 4y - 2\tfrac{4}{7}y = 10\)

\( 3\tfrac{7}{7}y - 2\tfrac{4}{7}y = 10\)

\( 1\tfrac{3}{7}y = 10\)

\(\tfrac{10}{7}y = 10\)

\(y = 10 : \frac{10}{7}\)

\(y = \cancel{10} \cdot \frac{7}{\cancel{10}}\)

\(y = 7 \)

\( x = -\frac{2}{\cancel7}\cdot \cancel7 = -2. \)

Ответ: \(x = -2,\) \(y = 7.\)

в) \( \begin{cases} 5x + 6y = -20,\\ 9y + 2x = 25; \end{cases} \)

\( \begin{cases} 5x = -20 - 6y,\\ 9y + 2x = 25; \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = \frac{-20 - 6y}{5},\\ 9y + 2x = 25; \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = -4 - \frac{6}{5}y,\\ 9y + 2(-4 - \frac{6}{5}y) = 25; \end{cases} \)

\( 9y + 2\cdot\bigl(-4 - \frac{6}{5}y\bigr) = 25\)

\(9y -8 - \frac{12}{5}y = 25\)  / \(\times{5}\)

\(5\cdot9y -5\cdot8 - \cancel5\cdot\frac{12}{\cancel5}y = 5\cdot25\)

\(45y-40-12y=125\)

\(33y=125 + 40\)

\(33y = 165\)

\(y = \frac{165}{33}\)

\(y = 5\)

\( x = -4 - \frac{6}{\cancel5}\cdot\cancel5 = -4 -6 = -10. \)

Ответ: \(x = -10,\) \(y = 5.\)

г) \( \begin{cases} 3x + 1 = 8y,\\ 11y - 3x = -11. \end{cases} \)

\( \begin{cases} 3x = 8y - 1,\\ 11y - 3x = -11. \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = \frac{8y - 1}{3},\\ 11y - 3\cdot\frac{8y - 1}{3} = -11. \end{cases} \)

\(11y - \cancel3\cdot\frac{8y - 1}{\cancel3} = -11\)

\(11y - (8y - 1) = -11\)

\(3y + 1 = -11\)

\(3y = -12\)

\(y=-\frac{12}{3}\)

\(y = -4\)

\( x = \frac{8\,\cdot\,(-4) - 1}{3} =\frac{-32 - 1}{3}=\frac{-33}{3}= -11. \)

Ответ: \(x = -11,\) \(y = -4\).

Пояснения:

Метод подстановки состоит из следующих шагов:

1. Из одного уравнения выражаем одну переменную через другую.

2. Подставляем полученное выражение в другое уравнение, получая уравнение с одной переменной.

3. Решаем это уравнение, находим значение первой переменной.

4. Подставляем найденное значение обратно для вычисления второй переменной.