Упражнение 1069 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Пояснения к пункту 1:

Если \(a > 0\), \(b > 0\):

• \(ax = b \Rightarrow x = \frac{b}{a}\) — вертикальная прямая справа от начала координат, проходит через I и IV четверти.
• \(ay = b \Rightarrow y = \frac{b}{a}\) — горизонтальная прямая выше начала координат, проходит через I и II четверти.
• \(ax + by = c\) — если \(a, b > 0\), то пересечения с осями положительные, значит прямая проходит через I, II и III четверти.

а) \(12x - 8y = 25.\)

Точки пересечения с осями:

• если \(x = 0\): \(-8y = 25 \Rightarrow y = -\frac{25}{8}\)
• если \(y = 0\): \(12x = 25 \Rightarrow x = \frac{25}{12}\)

График проходит через I, III, IV четверти.

б) \(6x + 3y = 11\).

Точки пересечения с осями:

• если \(x = 0\): \(3y = 11 \Rightarrow y = \frac{11}{3}\)
• если \(y = 0\): \(6x = 11 \Rightarrow x = \frac{11}{6}\)

График проходит через I, II, IV четверти.

в) Уравнение \(1{,}5x = 150 \Rightarrow x = 100\)

Это вертикальная прямая \(x = 100\), проходит через I и IV четверти.

г) Уравнение \(0{,}2x = 43 \Rightarrow x = 215\)

Также вертикальная прямая \(x = 215\) → проходит через I и IV четверти.

Ответ:

• а) I, III, IV четверти
• б)  I, II, IV четверти
• в) I и IV четверти
• г) I и IV четверти

1) Приведём к виду \(y = kx + b\) и запомним знак \(b\):

а) \(12x - 8y = 25\;\Longrightarrow\;y = \tfrac{3}{2}x - \tfrac{25}{8},\;b = -\tfrac{25}{8}<0.\)

б) \(6x + 3y = 11\;\Longrightarrow\;y = -2x + \tfrac{11}{3},\;b = \tfrac{11}{3}>0.\)

2) Проанализируем знак \(k\) и \(b\):

– если \(k>0\) и \(b<0\), прямая растёт, пересекает ось \(Ox\) справа от начала, ось \(Oy\) ниже начала → проходит через I, IV и III четверти;

– если \(k<0\) и \(b>0\), прямая убывает, пересекает ось \(Ox\) справа, ось \(Oy\) выше начала → проходит через I, II и IV четверти.

Поэтому:

а) \(k=\tfrac{3}{2}>0,\;b<0\) → I, IV, III четверти;

б) \(k=-2<0,\;b>0\) → I, II, IV четверти.

3) Вертикальные прямые:

в) \(1{,}5x=150\;\Longrightarrow\;x=100>0\) → прямая в I и IV;

г) \(0{,}2x=43\;\Longrightarrow\;x=215>0\) → прямая в I и IV.

Пояснения:

– Любую прямую можно записать как \(y = kx + b\). Коэффициент \(k\) показывает наклон, \(b\) — точку пересечения с осью \(Oy\). Знаки \(k\) и \(b\) вместе с положением пересечения с осью \(Ox\) определяют, в каких четвертях лежит график.

– Для вертикальных прямых \(x = d\) положение зависит только от знака \(d\): если \(d>0\), график лежит в I и IV четвертях; если \(d<0\), — в II и III.

1) \(ax = b\). При \(a>0\) получаем \[ x = \frac{b}{a}\ge0, \] то есть вертикальную прямую в точке \(x=\tfrac{b}{a}\) справа от или на оси \(Oy\). Такая прямая лежит в I и IV четвертях.

2) \(ay = b\). При \(a>0\) получаем \[ y = \frac{b}{a}\ge0, \] то есть горизонтальную прямую в точке \(y=\tfrac{b}{a}\) выше или на оси \(Ox\). Такая прямая лежит в I и II четвертях.

3) \(ax + by = c\). При \(a>0\), \(b>0\) находим пересечения:

\(x\)-перехват: \(\bigl(\tfrac{c}{a},0\bigr)\ge0,\quad y\)-перехват: \(\bigl(0,\tfrac{c}{b}\bigr)\ge0.\)

Линия убывает (наклон \(-\tfrac{a}{b}\)<0) и проходит через II (при \(x<0,y>0\)), I (при \(00\)), и IV (при \(x>\tfrac{c}{a},\,y<0\)) четверти.

Пояснения:

• Вертикальная прямая \(x=d\) с \(d>0\) лежит в I и IV четвертях; при \(d=0\) совпадает с осью \(Oy\).

• Горизонтальная прямая \(y=d\) с \(d>0\) лежит в I и II четвертях; при \(d=0\) совпадает с осью \(Ox\).

• Прямая \(ax+by=c\) (с \(a,b>0\)) имеет отрицательный наклон и положительные перехваты, поэтому уходит в II, затем через I, и дальше в IV четверть.

а) \( \begin{cases} y - 2x = 1,\\ 6x - y = 7; \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = 1 + 2x,\\ 6x - (1 + 2x) = 7; \end{cases} \)

\( 6x - (2x + 1) = 7\)

\( 6x - 2x - 1 = 7\)

\( 4x = 7 + 1\)

\(4x = 8\)

\(x = \frac84\)

\(x = 2\)

\(y = 1 + 2\cdot2 = 1 + 4 = 5. \)

Ответ: \(x = 2,\) \(y = 5. \)

б) \( \begin{cases} 7x - 3y = 13,\\ x - 2y = 5; \end{cases} \)

\( \begin{cases} 7(5 + 2y) - 3y = 13,\\ x = 5 + 2y; \end{cases} \)

\( 7(5 + 2y) - 3y = 13\)

\(35 + 14y - 3y = 13\)

\(11y = -22\)

\(y=-\frac{22}{11}\)

\(y = -2\)

\(x = 5 + 2\cdot(-2) = 5 - 4 = 1. \)

Ответ: \(x = 1, \) \(y = -2.\)

в) \( \begin{cases} x + y = 6,\\ 3x - 5y = 2; \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = 6 - y,\\ 3(6-y) - 5y = 2; \end{cases} \)

\( 3(6 - y) - 5y = 2\)

\(18 - 3y - 5y = 2\)

\(8y = 16\)

\(y = \frac{16}{8}\)

\(y = 2\)

\(x = 6 - 2 = 4. \)

Ответ: \(x = 4,\) \(y = 2.\)

г) \( \begin{cases} 4x - y = 11,\\ 6x - 2y = 13; \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = 4x - 11,\\ 6x - 2(4x - 11) = 13; \end{cases} \)

\( 6x - 2(4x - 11) = 13\)

\(6x - 8x + 22 = 13\)

\(6x - 8x = 13 - 22\)

\(-2x = -9\)

\(x = \frac{9}{2} = 4,5\)

\(y = 4\cdot4,5 - 11 = 18 - 11 = 7. \)

Ответ: \(x = 4,5,\) \(y = 7. \)

д) \( \begin{cases} y - x = 20,\\ 2x - 15y = -1; \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = 20 + x,\\ 2x - 15(20 + x) = -1; \end{cases} \)

\( 2x - 15(x + 20) = -1\)

\(2x - 15x - 300 = -1\)

\(-13x = 299\)

\(x = -\tfrac{299}{13}\)

\(x = -23\)

\(y = -23 + 20 = -3. \)

Ответ: \(x = -23,\) \(y = -3. \)

е) \( \begin{cases} 25 - x = -4y,\\ 3x - 2y = 30. \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = 25 + 4y,\\ 3(25 + 4y) - 2y = 30. \end{cases} \)

\( 3(25 + 4y) - 2y = 30\)

\(75 + 12y - 2y = 30\)

\(12y - 2y = 30 - 75\)

\(10y = -45\)

\(y = -\tfrac{45}{10}\)

\(y = -4,5\)

\(x = 25 + 4\cdot(-4,5) = 25 - 18 = 7. \)

Ответ: \(x = 7, \) \(y = -4,5.\)

Пояснения:

Во всех системах применён метод подстановки:

1. Из одного уравнения выражается одна переменная через другую.

2. Подстановка этого выражения в другое уравнение даёт линейное уравнение с одной переменной.

3. Решаем полученное уравнение и находим одну переменную.

4. Подставляем найденное значение обратно, чтобы найти вторую переменную.