Упражнение 1029 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(x^3 + 3x^2 - 4x - 12 = 0\)

\((x^3 + 3x^2) - (4x + 12) = 0\)

\(x^2(x + 3) - 4(x + 3) =0\)

\((x^2 - 4)(x + 3) =0\)

\((x - 2)(x + 2)(x + 3)=0 \)

      \(x-2=0\)

      \(x=2\)

или \(x+2=0\)

       \(x=-2\)

или \(x+3=0\)

       \(x=-3\)

Ответ: \(x=2; -2; -3.\)

б) \( 2m^3 - m^2 - 18m + 9 =0\)

\( (2m^3 - m^2) - (18m - 9) =0\)

\(m^2(2m - 1) - 9(2m - 1) =0\)

\((2m - 1)(m^2 - 9) =0\)

\((2m - 1)(m - 3)(m + 3)=0 \)

      \(2m-1=0\)

      \(2m=1\)

      \(m=\frac12=0,5\)

или \(m-3=0\)

       \(m=3\)

или \(m+3=0\)

       \(m=-3\)

Ответ: \(m= 0,5; 3; -3\).

в) \(y^3 - 6y^2 = 6 - y\)

\( y^3 - 6y^2 - 6 + y =0\)

\( (y^3 - 6y^2) - (6 - y) =0\)

\( y^2(y - 6) + 1(y - 6) =0\)

\((y - 6)(y^2 + 1)=0 \)

       \(y - 6 = 0\)

       \(y = 6\)

или \(y^2 + 1 = 0\)

\(y^2 = -1\) - нет корней.

Ответ: \(y = 6\).

г) \(2a^3 + 3a^2 = 2a + 3\)

\(2a^3 + 3a^2 - 2a - 3 = 0\)

\((2a^3 + 3a^2) - (2a + 3) = 0\)

\( a^2(2a + 3) - 1\cdot(2a + 3) =0\)

\((2a + 3)(a^2 - 1) =0\)

\((2a + 3)(a - 1)(a + 1)=0\)

       \(2a + 3 = 0\)

       \(2a = -3\)

        \( a=-\tfrac32 = -1,5\)

или \(a-1=0\)

        \( a=1\)

или \(a+1=0\)

       \(a=-1\)

Ответ: \( a= -1,5; 1; -1\).

Пояснения:

Использованные приёмы и формулы:

1) Группировка: разбиваем многочлен на суммы, в каждой группе выносим общий множитель.

2) Вынесение общего множителя:

\(ax + ay = a(x+y)\).

3) Формула разности квадратов:

\a^2 - b^2 = (a - b)(a + b).\)

4) Противоположные выражения:

\(-(a + b) = -a - b\).

5) Корни уравнения не изменяются, если какое-либо слагаемое перенести из одной части уравнения в другую.

6) Линейное уравнение вида \(ax=b\) при \(a\neq0\) имеет единственный корень: \(x=\frac{b}{a}\).

7) Метод определения корней: после разложения на множители приравниваем каждый множитель к нулю и находим корни уравнения.

а) Подставим \(x = 2\), \(y = 4{,}5\) в уравнение вида \(ax + by = c\). Пусть \(a = 1\), \(b = 2\):

\[ 1 \cdot 2 + 2 \cdot 4{,}5 = 2 + 9 = 11 \]

Уравнение: \(x + 2y = 11\)

б) Подставим \(x = -1\), \(y = 2\) в уравнение вида \(ax + by = c\). Пусть \(a = 3\), \(b = 1\):

\[ 3 \cdot (-1) + 1 \cdot 2 = -3 + 2 = -1 \]

Уравнение: \(3x + y = -1\)

Пояснения:

Правило:

Линейное уравнение с двумя переменными имеет вид \(ax + by = c\), где \(a\), \(b\), \(c\) — произвольные числа, а \(x\), \(y\) — переменные.

Чтобы составить такое уравнение, нужно подставить данные значения переменных \(x\) и \(y\) и выбрать любые коэффициенты \(a\), \(b\), после чего вычислить правую часть \(c\).

а) Пример:

Выбрали \(a = 1\), \(b = 2\), получили:

\[ x + 2y = 11 \]

б) Пример:

Выбрали \(a = 3\), \(b = 1\), получили:

\[ 3x + y = -1 \]

Таким образом, каждая пара чисел подставляется в линейную комбинацию, и получается уравнение, которое они удовлетворяют.