Упражнение 984 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 195

а) \((3x + 1)^3 = 27x^2(x + 1) + 8x + 2\)

\(27x^3 + 3 \cdot 9x^2 \cdot 1 + 3 \cdot 3x \cdot 1^2 + 1^3 = 27x^3 + 27x^2 + 8x + 2\)

\(\cancel{27x^3} + \cancel{27x^2} + 9x - \cancel{27x^3} - \cancel{27x^2} - 8x = 2 - 1\)

\( 9x - 8x = 2 - 1\)

\(x = 1 \)

Ответ: \(x = 1 \).

б) \(4x^2(2x + 9) = (2x + 3)^3 + 12(3x + 1)\)

\( 8x^3 + 36x^2 = 8x^3 + 3 \cdot 4x^2 \cdot 3 + 3 \cdot 2x \cdot 9 + 27 + 36x + 12\)

\( 8x^3 + 36x^2 = 8x^3 + 36x^2 + 54x + 27 + 36x + 12\)

\( \cancel{8x^3} + \cancel{36x^2} - \cancel{8x^3} - \cancel{36x^2} - 54x - 36x = 27 + 12\)

\(-90x=39\)

\( x = -\frac{39}{90} \)

\( x =-\frac{13}{30} \)

Ответ: \( x =-\frac{13}{30} \).

Пояснения:

Использованные правила и формулы:

1) \( (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \) - куб суммы двух выражений.

2) Умножение одночлена на многочлен:

\(a(b + c) = ab + ac\).

3) Корни уравнения не изменяются, если какое-либо слагаемое перенести из одной части уравнения в другую.

4) Линейное уравнение вида \(ax=b\) при \(a\neq0\) имеет единственный корень: \(x=\frac{b}{a}\).

— В обоих случаях сначала раскрываем степени и произведения, чтобы получить обычные многочлены.

— Затем приводим подобные, сокращаем противоположные члены и сводим решение к простому линейному уравнению.

— В результате получаем единственное решение каждого уравнения.

а) \( (n + 1)^2 - (n - 1)^2 =\)

\(=\bigl((n + 1) - (n - 1)\bigr)\,\bigl((n + 1) + (n - 1)\bigr)= \)

\(=\bigl(n + 1 - n + 1\bigr)\,\bigl(n + 1 + n - 1\bigr)= \)

\(=2\cdot2n= 4n\) - делится на 4.

б) \( (2n + 3)^2 - (2n - 1)^2 =\)

\(=\bigl((2n + 3) - (2n - 1)\bigr)\,\bigl((2n + 3) + (2n - 1)\bigr)= \)

\(=\bigl(2n + 3 - 2n + 1\bigr)\,\bigl(2n + 3 + 2n - 1\bigr)= \)

\(=4\cdot(4n + 2)=4\cdot2(2n+1) =\)

\(=8\cdot(2n+1)\) - делится на 8.

в) \( (3n + 1)^2 - (3n - 1)^2 =\)

\(=\bigl((3n + 1) - (3n - 1)\bigr)\,\bigl((3n + 1) + (3n - 1)\bigr)= \)

\(=\bigl(3n + 1 - 3n + 1\bigr)\,\bigl(3n + 1 + 3n - 1\bigr)= \)

\(=2\cdot6n=12n\) - делится на 12.

г) \( (5n + 1)^2 - (2n - 1)^2 =\)

\(=\bigl((5n + 1) - (2n - 1)\bigr)\,\bigl((5n + 1) + (2n - 1)\bigr)= \)

\(=\bigl(5n + 1 - 2n + 1\bigr)\,\bigl(5n + 1 + 2n - 1\bigr)= \)

\(=(3n+2)\cdot7n =  7n(3n+2)\) - делится на 7.

Пояснения:

Основные правила и приёмы:

1. Формула разности квадратов:

\( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b). \)

2. Понятие делимости: если в произведении один из множителей делится на какое-либо число, то и все произведение делится на это число

3. Раскрытие скобок: если перед скобками стоит знак минус, то при их раскрытии меняем знаки всех слагаемых из скобок на противоположные.

4. Приведение подобных слагаемых:

\(ax + bx = (a + b)x\).