Упражнение 985 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 195

а) \( b^2 + 10b + 25 =\)

\(b^2 + 2\cdot b \cdot 5 + 5^2 =\)

\( =(b + 5)^2. \)

б) \( c^2 - 8c + 16 =\)

\(=c^2 - 2\cdot c \cdot 4 + 4^2 =\)

\(=(c - 4)^2. \)

в) \( 16x^2 - 8x + 1 =\)

\(=16x^2 - 2\cdot4x\cdot1 + 1^2 =\)

\(=(4x - 1)^2. \)

г) \( 4c^2 + 12c + 9 \)

\(=(2c)^2 + 2\cdot2c\cdot3 + 3^2 =\)

\(=(2c + 3)^2. \)

д) \( x^4 + 2x^2y + y^2 =\)

\(=(x^2)^2 + 2x^2y + y^2 =\)

\(=(x^2 + y)^2. \)

е) \(a^6 - 6a^3b^2 + 9b^4 =\)

\( = (a^3)^2 - 2\cdot a^3\cdot3b^2 + (3b^2)^2 =\)

\(=(a^3 - 3b^2)^2. \)

Пояснения:

Использованные правила и приемы:

1) Квадрат суммы двух выражений:

\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).

2) Квадрат разности двух выражений:

\((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).

3) Свойства степени:

\((a^nb^n=(ab)^n\),

\((a^m)^n=a^{mn}\).

а) \( (3a - 2b)^2 - (2a - b)^2 =\)

\(=\bigl((3a - 2b)-(2a - b)\bigr)\,\bigl((3a - 2b)+(2a - b)\bigr)= \)

\(=(3a - 2b - 2a + b)(3a - 2b + 2a - b)=\)

\( =(a - b)(5a - 3b).\)

Если \(a = 1{,}35\), \(b = -0{,}65\), то

\((1{,}35 - (-0{,}65))(5 \cdot 1{,}35 - 3 \cdot (-0{,}65))=\)

\(= (1{,}35 + 0{,}65)(6{,}75 + 1{,}95)=\)

\(= 2\cdot8{,}7=17,4\).

б) \( (2y - c)^2 + (y + 2c)^2 =\)

\(=\bigl(4y^2 - 4yc + c^2\bigr) + \bigl(y^2 + 4yc + 4c^2\bigr) =\)

\(=4y^2 - \cancel{4yc} + c^2 + y^2 + \cancel{4yc} + 4c^2 =\)

\(=5y^2 + 5c^2 = 5(y^2 + c^2). \)

Если \(c = 1{,}2,\; y = -1{,}4 \), то

\( 5\cdot((-1{,}4)^2 + 1{,}2^2) =\)

\(=5\cdot(1{,}96+ 1{,}44) =\)

\(=5\cdot3,4 = 17. \)

Пояснения:

Основные правила и приёмы:

1. Формула разности квадратов:

\( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b). \)

2. Квадрат суммы и квадрат разности:

\( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)

\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2. \)

3. Свойство степени:

\((ab)^n=a^nb^n\).

4. Подобные члены:

\(ax + bx = (a + b)x\).

Пояснение к пункту а):

Сначала применяем формулу разности квадратов к выражениям \( (3a - 2b)^2\) и \( (2a - b)^2 \). Затем преобразовали каждую из полученных скобок. Далее подставили числовые значения \(a = 1{,}35\), \(b = -0{,}65\) и выполнили вычисления.

Пояснение к пункту б):

 Поскольку в пункте б) стоит сумма квадратов, формулу разности квадратов здесь применить нельзя. Поэтому к первой скобке применяем формулу квадрата разности, а ко второй - квадрата суммы. Затем упростили выражение (привели подобные), подставили числовые значения \(c = 1{,}2,\; y = -1{,}4 \) и выполнили вычисления.