Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№989 учебника 2023-2025 (стр. 196):
Упростите выражнение:
а) \((a + 2)(a - 2) - a(a - 5);\)
б) \((a - 3)(3 + a) + a(7 - a);\)
в) \((b - 4)(b + 4) - (b - 3)(b + 5);\)
г) \((b + 8)(b - 6) - (b - 7)(b + 7);\)
д) \((c - 1)(c + 1) + (c - 9)(c + 9);\)
е) \((5 + c)(c - 5) - (c - 10)(c + 10).\)
№989 учебника 2013-2022 (стр. 195):
Представьте в виде произведения:
а) \((x+1)^3 + x^3\);
б) \((y-2)^3 - 27\);
в) \((a - b)^3 + b^3\);
г) \(8x^3 + (x - y)^3\);
д) \(27a^3 - (a - b)^3\);
е) \(1000 + (b - 8)^3\).
№989 учебника 2023-2025 (стр. 196):
Вспомните:
№989 учебника 2013-2022 (стр. 195):
Вспомните:
№989 учебника 2023-2025 (стр. 196):
а) \((a + 2)(a - 2) -a(a - 5) =\)
\( = \cancel{a^2} - 4 - \cancel{a^2} + 5a =\)
\( = 5a - 4. \)
б) \( (a - 3)(3 + a) + a(7 - a)=\)
\( = \cancel{a^2} - 9 + 7a - \cancel{a^2} =\)
\( = 7a - 9. \)
в) \( (b - 4)(b + 4) - (b - 3)(b + 5) =\)
\(= b^2 - 16 - b^2 + 5b - 3b - 15 =\)
\(=\cancel{b^2} - 16 - \cancel{b^2} - 5b + 3b + 15 =\)
\(= -2b - 1. \)
г) \( (b + 8)(b - 6) - (b - 7)(b + 7) =\)
\(= b^2 - 6b + 8b - 48 - (b^2 - 49)=\)
\(= \cancel{b^2} + 2b - 48 - \cancel{b^2} + 49 =\)
\(= 2b + 1. \)
д) \( (c - 1)(c + 1) + (c - 9)(c + 9) =\)
\( = c^2 - 1 + c^2 - 81 = 2c^2 - 82. \)
е) \( (5 + c)(c - 5) - (c - 10)(c + 10) =\)
\(= c^2 - 25 - (c^2 - 100) =\)
\( = \cancel{c^2} - 25 - \cancel{c^2} + 100 = 75.\)
Пояснения:
Использованные правила и приёмы:
1. Умножение многочлена на многочлен:
\((a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd\).
2. \( (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 \) - произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений.
3. Вычитание многочленов: знаки вычитаемого многочлена при раскрытии скобок меняю на противоположные.
4. Подобные слагаемые:
\(ax + bx = (a + b)x\).
Пояснения к пункту а)
Выражение \((a + 2)(a - 2)\) удобно раскрыть по формуле разности квадратов:
\((a + 2)(a - 2) = a^2 - 4.\)
Одновременно вычисляем
\(a(a - 5) = a^2 - 5a.\)
Далее вычитаем второе из первого:
\( (a^2 - 4) - (a^2 - 5a) = \)
\(=a^2 - 4 - a^2 + 5a = 5a - 4. \)
Пояснения к пункту б)
Выражение \((a - 3)(3 + a)\) удобно раскрыть по формуле разности квадратов:
\( (a - 3)(a + 3) = a^2 - 9. \)
Одновременно вычисляем
\(a(7 - a) = 7a - a^2.\)
Складываем результаты:
\( (a^2 - 9) + (7a - a^2) =\)
\(=a^2 - 9 + 7a - a^2 = 7a - 9. \)
Пояснения к пункту в)
Выражение \((b - 4)(b + 4)\) удобно раскрыть по формуле разности квадратов:
\( (b - 4)(b + 4) = b^2 - 16. \)
Произведение \((b - 3)(b + 5)\) раскрывается умножением каждого члена первого многочлена на каждый член второго:
\( b^2 + 5b - 3b - 15\).
Вычитаем второе выражение из первого:
\( (b^2 - 16) - (b^2 + 5b - 3b - 15) = \)
\(=b^2 - 16 - b^2 - 5b + 3b + 15 =\)
\(=-2b - 1. \)
Пояснения к пункту г)
Произведение \((b + 8)(b - 6)\) раскрывается умножением каждого члена первого многочлена на каждый член второго:
\( b^2 - 6b + 8b - 48 = b^2 + 2b - 48\).
Произведение \((b - 7)(b + 7)\) раскрываем как разность квадратов:
\( (b - 7)(b + 7) = b^2 - 49. \)
Далее вычитаем второе из первого:
\( (b^2 + 2b - 48) - (b^2 - 49) =\)
\(=b^2 + 2b - 48 - b^2 + 49 = 2b + 1. \)
Пояснения к пункту д)
Произведение \((c - 1)(c + 1)\) раскрываем как разность квадратов:
\((c - 1)(c + 1) = c^2 - 1. \)
Произведение \((c - 9)(c + 9)\) также раскрываем как разность квадратов:
\( (c - 9)(c + 9) = c^2 - 81. \)
Складываем оба результата:
\( c^2 - 1 + c^2 - 81 = 2c^2 - 82. \)
Пояснения к пункту е)
\((5 + c)(c - 5)\) приводим к форме \((c + 5)(c - 5)\) и раскрываем как разность квадратов:
\((5 + c)(c - 5) = c^2 - 25. \)
Произведение \((c - 10)(c + 10)\) также раскрываем как разность квадратов:
\((c - 10)(c + 10) = c^2 - 100. \)
Вычитаем второе из первого:
\( (c^2 - 25) - (c^2 - 100) =\)
\(=c^2 - 25 - c^2 + 100 = 75. \)
№989 учебника 2013-2022 (стр. 195):
а) \((x+1)^3 + x^3 =\)
\(= (x+1+x)\bigl((x+1)^2 - x(x+1) + x^2\bigr) =\)
\(= (2x+1)\bigl(x^2 + 2x +1 - x^2-x + x^2\bigr) =\)
\(=(2x+1)(x^2+x+1). \)
б) \((y-2)^3 - 27 = \)
\(= (y-2-3)\bigl((y-2)^2 + 3(y-2) +9\bigr) =\)
\(= (y-5)\bigl(y^2 - 4y+4 + 3y-6 +9\bigr) =\)
\(=(y-5)(y^2 - y +7). \)
в) \((a - b)^3 + b^3 = \)
\(= (a-b-b)\bigl((a-b)^2 - b(a-b) + b^2\bigr) =\)
\(= a\bigl(a^2 - 2ab +b^2 - ab+b^2 + b^2\bigr) =\)
\(=a\,(a^2 -3ab +3b^2). \)
г) \(8x^3 + (x - y)^3 =\)
\(=(2x)^3 + (x - y)^3=\)
\( = (2x + (x-y))\bigl((2x)^2 -2x(x-y) + (x-y)^2\bigr) =\)
\( = (2x + x-y)\bigl(4x^2 -2x^2+\cancel{2xy} + x^2-\cancel{2xy} +y^2\bigr) =\)
\(=(3x - y)(3x^2 + y^2). \)
д) \(27a^3 - (a - b)^3 \)
\(=(3a)^3 - (a - b)^3 =\)
\(= (3a - (a- b))\bigl((3a)^2 +3a(a-b) + (a-b)^2\bigr) =\)
\(= (3a - a + b)\bigl(9a^2 +3a^2-3ab + a^2-2ab+b^2\bigr) =\)
\(= (2a + b)(13a^2 -5ab + b^2). \)
е) \(1000 + (b - 8)^3 =\)
\(=10^3 + (b - 8)^3 =\)
\(= (10 + (b - 8))\bigl(10^2 -10(b-8) + (b-8)^2\bigr) =\)
\(= (10 + b - 8)\bigl(100 -10b + 80 + b^2-16b+ 64\bigr) =\)
\(=(b + 2)(b^2 -26b +244). \)
Пояснения:
Использованные формулы и приемы:
1. Формулы суммы кубов и разности кубов:
\( a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\)
\(a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2). \)
2. Свойства степени:
\(a^nb^n=(ab)^n\),
\((a^m)^n=a^{mn}\).
3. Раскрытие скобок: если перед скобками стоит знак минус, то при их раскрытии меняем знаки всех слагаемых из скобок на противоположные.
4. Приведение подобных слагаемых:
\(ax + bx = (a + b)x\).
Вернуться к содержанию учебника