Упражнение 824 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \((-9a+4b)^2 =(4b-9a)^2=\)

\(=(4b)^2 - 2\cdot4b\cdot9a + (9a)^2 =\)

\(=16b^2 - 72ab + 81a^2.\)

б) \((-11x-7y)^2 = (11x+7y)^2 = \)

\(=(11x)^2 + 2\cdot11x\cdot7y + (7y)^2 =\)

\(=121x^2 + 154xy + 49y^2.\)

в) \((-0{,}8x-0{,}5b)^2 =(0{,}8x+0{,}5b)^2 =\)

\(=(0{,}8x)^2 + 2\cdot0{,}8x\cdot0{,}5b + (0{,}5b)^2 =\)

\(=0{,}64x^2 + 0{,}8xb + 0{,}25b^2.\)

г) \(\bigl(-1\tfrac{1}{3}p + 6q\bigr)^2=\bigl(-\tfrac{4}{3}p+6q\bigr)^2 =\)

\(=\bigl(6q-\tfrac{4}{3}p\bigr)^2=\)

\(=(6q)^2- 2\cdot\tfrac{4}{3}p\cdot6q + (\tfrac{4}{3}p)^2 =\)

\(= 36q^2 - 16pq + \tfrac{16}{9}p^2.\)

д) \((0{,}08a-50b)^2 = \)

\(=(0{,}08a)^2 - 2\cdot0{,}08a\cdot50b + (50b)^2 = \)

\(=0{,}0064a^2 - 8ab + 2500b^2.\)

е) \((-0{,}5x-60y)^2 =(0{,}5x+60y)^2 = \)

\(=(0{,}5x)^2 + 2\cdot0{,}5x\cdot60y + (60y)^2 =\)

\(=0{,}25x^2 + 60xy + 3600y^2.\)

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

1) \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) - квадрат суммы двух выражений,

2) \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) - квадрат разности двух выражений.

3) Квадрат выражения нечувствителен к смене знака перед ним:

\(( -a-b )^2 = (a+b)^2 \),

4) Свойство возведения произведения в степень:

\((a\cdot{b})^n = a^nb^n.\)

а) \((a + b)^2 + (a - b)^2 = 2\bigl(a^2 + b^2\bigr)\);

\(\bigl(a^2 + 2ab + b^2\bigr) + \bigl(a^2 - 2ab + b^2\bigr) =2\bigl(a^2 + b^2\bigr)\)

\(a^2 + \cancel{2ab} + b^2 + a^2 - \cancel{2ab} + b^2 =2\bigl(a^2 + b^2\bigr)\)

\(2a^2 + 2b^2 = 2\bigl(a^2 + b^2\bigr) \)

\(2\bigl(a^2 + b^2\bigr) = 2\bigl(a^2 + b^2\bigr)\)

Тождество доказано.

б) \( (a + b)^2 - (a - b)^2 = 4ab\)

\(\bigl(a^2 + 2ab + b^2\bigr) - \bigl(a^2 - 2ab + b^2\bigr)=4ab\)

\(\cancel{a^2} + 2ab + \cancel{b^2} - \cancel{a^2} + 2ab - \cancel{b^2}=4ab \)

\(4ab = 4ab\)

Тождество доказано.

в) \( (a + b)^2 - 2ab =a^2 + b^2\)

\(a^2 + \cancel{2ab} + b^2 - \cancel{2ab} =a^2 + b^2\)

\(a^2 + b^2=a^2 + b^2 \)

Тождество доказано.

г) \( (a + b)^2 - 2b(a + b) =a^2 - b^2\)

\(\bigl(a^2 + 2ab + ]b^2\bigr) - \bigl(2ab + 2b^2\bigr) =a^2 - b^2\)

\(a^2 + \cancel{2ab} + b^2 - \cancel{2ab} - 2b^2 =a^2 - b^2\)

\(a^2 - b^2=a^2 - b^2 \)

Тождество доказано.

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

1) \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) - квадрат суммы двух выражений,

2) \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) - квадрат разности двух выражений.

3) Вычитание одного многочлена из другого: у многочлена, перед которым стоит знак минус, при раскрытии скобок нужно поменять все знаки на противоположные.

4) Правило сложения подобных членов: складываем коэффициенты при одинаковых степенях переменных:

\(ax + bx=(a+b)x\).

Противоположные члены мы вычеркиваем, так как их сумма равна нулю.

В каждом случае, для доказательства тождества, преобразуем левую часть данного равенства, получая правую часть.