Упражнение 825 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \((-3a+10b)^2 = (10b-3a)^2 =\)

\(= (10b)^2 - 2\cdot10b\cdot3a +(3a)^2 =\)

\(=100b^2 - 60ab + 9a^2.\)

б) \((-6m-n)^2 =(6m+n)^2=\)

\(=(6m)^2 + 2\cdot6m\cdot{n} + n^2 =\)

\(=36m^2 + 12mn + n^2.\)

в) \((8x-0{,}3y)^2 =\)

\(=(8x)^2 - 2\cdot8x\cdot0{,}3y + (0{,}3y)^2 =\)

\(=64x^2 - 4{,}8xy + 0{,}09y^2.\)

г) \(\bigl(5a+\tfrac{1}{15}b\bigr)^2 =\)

\(=(5a)^2 + 2\cdot5a\cdot\tfrac{1}{15}b + \bigl(\tfrac{1}{15}b\bigr)^2 =\)

\(=25a^2 + \tfrac{2}{3}ab + \tfrac{1}{225}b^2.\)

д) \((-0{,}2p-10q)^2 =\)

\(=(0{,}2p)^2 + 2\cdot0{,}2p\cdot10q + (10q)^2 =\)

\(=0{,}04p^2 + 4pq + 100q^2.\)

е) \((0{,}8x-0{,}1y)^2 =\)

\(=(0{,}8x)^2 - 2\cdot0{,}8x\cdot0{,}1y+ (0{,}1y)^2 =\)

\(=0{,}64x^2 - 0{,}16xy + 0{,}01y^2.\)

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

1) \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) - квадрат суммы двух выражений,

2) \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) - квадрат разности двух выражений.

3) Квадрат выражения нечувствителен к смене знака перед ним:

\(( -a-b )^2 = (a+b)^2 \),

4) Свойство возведения произведения в степень:

\((a\cdot{b})^n = a^nb^n.\)

\((a^2 + b^2)\,(c^2 + d^2) = (ac + bd)^2 + (ad - bc)^2\)

\(a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2=a^2c^2 + \cancel{2acbd} + b^2d^2 + a^2d^2 - \cancel{2acbd} + b^2c^2 \)

\(a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2= a^2c^2 + b^2d^2 + a^2d^2 + b^2c^2 \)

Тождество доказано.

Пояснения:

Для доказательства тождества преобразуем каждую из частей данного равенства, получая одно и то же выражение.

Использованные правила и приёмы:

1) \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) - квадрат суммы двух выражений,

2) \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) - квадрат разности двух выражений.

3. Умножение многочлена на многочлен:

\( (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd \).

В решении мы последовательно раскрыли скобки и сократили противоположные слагаемые.