Упражнение 787 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 161

а) \( 1{,}2x^2 + x = 0 \)

\(x(1{,}2x + 1) = 0 \)

\(x = 0 \;\text{или}\; 1{,}2x + 1 = 0\)

                    \(x = -\frac{1}{1{,}2} \)

                    \(x = -\frac{\cancel{10}^5}{\cancel{12}^6} \)

                    \(x = -\frac{5}{6} \)

Ответ: \(x = 0 \;\text{или}\; x = -\frac{5}{6}. \)

б) \( 1{,}6x + x^2 = 0 \)

\(x(x + 1{,}6) = 0\)

\(x = 0  \;\text{или}\; x + 1{,}6 = 0 \)

                    \(x = -1{,}6. \)

Ответ: \(x = 0  \;\text{или}\; x = -1{,}6 \)

в) \( 0{,}5x^2 - x = 0 \)

\(x(0{,}5x - 1) = 0\)

\(x = 0 \;\text{или}\; 0{,}5x - 1 = 0 \)

                    \(0{,}5x = 1 \)

                    \(x = \frac{1}{0,5} \)

                    \(x = \frac{10}{5} \)

                    \( x = 2. \)

Ответ: \(x = 0 \;\text{или}\;x =2 \)

г) \( 5x^2 = x \)

\(5x^2 - x = 0 \)

\(x(5x - 1) = 0 \)

\(x = 0 \;\text{или}\; 5x - 1 = 0\)

                     \(5x - 1 = 0\)

                      \(x = \frac{1}{5}. \)

Ответ: \(x = 0 \;\text{или}\; x = \frac{1}{5}.\)

д) \( 1{,}6x^2 = 3x\)

\(1{,}6x^2 - 3x = 0 \)

\(x(1{,}6x - 3) = 0 \)

\(x = 0 \;\text{или}\; 1{,}6x - 3 = 0 \)

                    \(x = \frac{3}{1{,}6} \)

                    \(x = \frac{30}{16} \)

                    \(x = \frac{\cancel{30}^{15}}{\cancel{16}^8} \)

                    \(x = \frac{15}{8} \)

                    \(x = 1\frac{7}{8} \)

Ответ: \(x = 0 \;\text{или}\; x=1\frac{7}{8}. \)

е) \( x = x^2 \)

\(x^2 - x = 0 \)

\(x(x - 1) = 0 \)

\(x = 0 \;\text{или}\; x - 1 = 0 \)

                            \(x = 1. \)

Ответ: \(x = 0 \;\text{или}\; x = 1. \)

Пояснения:

1. Правило нулевого произведения: если \(mn = 0\), то \(m = 0\) или \(n= 0\). Это позволяет сразу после приведения уравнения к форме «произведение = 0» записать корни через «или».

2. Перенос: все члены переносятся в одну часть уравнения.

3. Вынесение общего множителя: многочлен разбивается на произведение \(x\) и линейного множителя, что и даёт решения \(x = 0\) или \(x = \frac{a}{b} \).

Каждое уравнение решено одинаково: привели к «многочлен = 0», вынесли \(x\), применили правило нулевого произведения и решили получившееся линейное уравнение.

Пусть сторона квадрата \(x\) см. Тогда длина прямоугольника \(x + 4\) см, а ширина - \(x - 5\) см. Известно, что площадь квадрата больше площади прямоугольника на 40 см².

1) Составим уравнение:

\( x^2 = (x+4)(x-5) + 40 \)

\( x^2 = x^2 -5x +4x -20 +40 \)

\(x^2 = x^2 - x +20. \)

\(x^2 - x^2 + x = 20. \)

\(x = 20 \text{ (см)}\) - сторона квадрата.

2) \(20 + 4 = 24 \text{ (см)} \)- длина прямоугольника.

3) \(20 -5 = 15\text{ (см)} \) - ширина прямоугольника.

\( S = 24 \cdot 15 = 360\text{ см}^2 \)

Ответ: площадь прямоугольника равна \(360 \text{ см}^2 \)/

Пояснения:

1. Первым шагом обозначили сторону квадрата переменной \(x\), что позволило выразить стороны прямоугольника: длину \(x+4\) и ширину \(x-5\).

2. Далее составили уравнение

\(x^2 = (x+4)(x-5) + 40\), которое отражает то, что площадь квадрата на 40 см² больше площади прямоугольника (площадь квадрата равна квадрату его стороны; площадь прямоугольника равна произведению его длины и ширины).

3. Раскрыли скобки, умножив каждый член первого многочлена на каждый член второго многочлена, перенесли слагаемые с переменной в левую часть уравнения, изменив их знак, привели подобные члены и сократили противоположные члены \(x^2\).

4. Упростив уравнение, нашли сторону квадрата \(x = 20 \text{ (см)}\).

5. Нашли стороны прямоугольника:

длину \(20 + 4 = 24 \text{ (см)} \),

ширину \(20 -5 = 15\text{ (см)} \).

6. Вычислили площадь прямоугольника, перемножив его длину и ширину:

\( S = 24 \cdot 15 = 360\text{ см}^2 \).