Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№780 учебника 2023-2025 (стр. 161):
На элеватор поступило 1400 т пшеницы двух сортов. При обработке пшеницы одного сорта оказалось 2 % отходов, а другого сорта — 3 % отходов. Чистой пшеницы получилось 1364 т. Сколько пшеницы каждого сорта поступило на элеватор?
№780 учебника 2013-2022 (стр. 160):
Докажите, что значение выражения:
а) \((3^5 - 3^4)(3^3 + 3^2)\) делится на 24;
б) \((2^{10} + 2^8)(2^5 - 2^3)\) делится на 60;
в) \((16^3 - 8^3)(4^3 + 2^3)\) делится на 63;
г) \((125^2 + 25^2)(5^2 - 1)\) делится на 39.
№780 учебника 2023-2025 (стр. 161):
Вспомните:
№780 учебника 2013-2022 (стр. 160):
Вспомните:
№780 учебника 2023-2025 (стр. 161):
1) 2% = 0,02
1 - 0,02 = 0,98 - составляет чистая пшеница первого сорта.
2) 3% = 0,03
1 - 0,03 = 0,97 - составляет чистая пшеница второго сорта.
3) Пусть \(x\) тонн масса пшеницы первого сорта. Тогда второго сорта поступило \(1400 - x\) тонн.
Составим уравнение:
\( 0,98x + 0,97\cdot(1400 - x) = 1364. \)
Раскроем скобки:
\( 0,98x + 0,97\cdot1400 - 0,97x = 1364 \)
\( 0,01x = 6 \)
\( x = \frac{6}{0,01} \)
\( x = \frac{600}{1} \)
\( x = 600 \) (т) - пшеницы первого сорта.
4) \( 1400 - 600 = 800 \) (т) - пшеницы второго сорта.
Ответ: первого сорта — 600 т, второго сорта — 800 т.
Пояснения:
Использована формула чистой массы после обработки:
\( S_{\text{чист.}} = S_{\text{первонач.}}\cdot(1 - \text{доля отход.}) \)
1) Вводим одну переменную \(x\) для первого сорта, второе количество выражаем как \(1400 - x\).
2) Чистая масса первого сорта:
\(0,98x\), второго: \(0,97(1400 - x)\).
3) Составляем уравнение на сумму чистых масс, равную 1364 т.
4) Раскрываем скобки: получаем линейное уравнение с одной переменной.
5) Приводим подобные члены: коэффициент при \(x\) — разность процентных долей, число — оставшаяся часть.
6) Решаем линейное уравнение \(0,01x = 6\) делением: \(x = 600\). Затем находим \(1400 - x = 800\).
Таким образом, на элеватор поступило 600 т пшеницы первого сорта и 800 т второго сорта.
№780 учебника 2013-2022 (стр. 160):
а) \((3^5 - 3^4)(3^3 + 3^2) =\)
\(=3^4\cdot(3 - 1)\cdot3^2\cdot( + 1) =\)
\(=3^4\cdot2 \;\cdot\;3^2\cdot4 = 2^3\cdot3^6=\)
\(=8\cdot3\cdot3^5 = 24\cdot3^5\) - делится на 24.
б) \((2^{10} + 2^8)(2^5 - 2^3) =\)
\(=2^8\cdot(2^2 + 1)\cdot2^3\cdot(2^2 - 1) =\)
\(=2^8\cdot(4 + 1)\cdot2^3\cdot(24 - 1) =\)
\(=2^8\cdot5 \;\cdot\;2^3\cdot3 =\)
\(=2^{11}\cdot3\cdot5 = 2^9\cdot2^2\cdot15=\)
\(=2^9\cdot4\cdot15=2^9\cdot60\) - делится на 60.
в) \((16^3 - 8^3)(4^3 + 2^3) =\)
\(=((2^4)^3 - (2^3)^3)((2^2)^3 + 2^3) =\)
\(=(2^{12} - 2^9)(2^6 + 2^3) =\)
\(=2^9\cdot(2^3 - 1)\cdot2^3\cdot(2^3 + 1) =\)
\(=2^9\cdot(8 - 1)\cdot2^3\cdot(8+ 1) =\)
\(=2^9\cdot7 \;\cdot\;2^3\cdot9 =\)
\(=2^{12}\cdot63\) - делится на 63.
г) \((125^2 + 25^2)(5^2 - 1) =\)
\(=((5^3)^2 + (5^2)^2)(25 - 1) =\)
\(=(5^6 + 5^4)(25 - 1) =\)
\(=5^4\cdot(5^2 + 1)\cdot24 =\)
\(=5^4\cdot(25 + 1)\cdot24 =\)
\(=5^4\cdot26 \cdot\;24 = 5^4\cdot2\cdot13\cdot3\cdot8=\)
\(=5^4\cdot2\cdot39\cdot2^3=\)
\(5^4\cdot2^4\cdot39\) - делится 39.
Пояснения:
Использованные формулы и теоремы:
Основной приём — вынос общей степени основания в каждом разности или сумме степеней.
\[(a^n - a^m) = a^m\,(a^{n-m} - 1)\]
\[(a^n + a^m) = a^m\,(a^{n-m} + 1)\]
Теорема о делимости: если натуральное число представимо как \(d\cdot k\), то оно делится на \(d\).
Также в пунктах в) и г) использовали свойство возведения степени в степень:
\((a^m)^n = a^{m\cdot{n}}\).
а) После выноса степеней получили произведение \(24 \cdot 3^5\), значит, выражение делится на 24.
б) Выделив \(2^8\) и \(2^3\), получили \(60 \cdot 2^9\), значит, выражение делится на 60.
в) Преобразования через степени двойки дали множители \(7\) и \(9\) при общей степени \(2^{12}\), то есть \(63 \cdot 2^{12}\), значит, выражение делится на 63.
г) Преобразования через степени пятерки дали множители \(3\) и \(13\) при общих степенях \(5^{4}\) и \(2^{4}\), то есть
\(5^4\cdot2^4\cdot39\), значит, выражение делится на 39.
Вернуться к содержанию учебника