Упражнение 876 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 176

а) \((100 - 1)(100 + 1) = \)

\(=100^2 - 1^2 = 10000 - 1 = 9999\)

б) \((80 + 3)(80 - 3) = 80^2 - 3^2 =\)

\(=6400 - 9 = 6391\)

в) \(64 \cdot 56 = (60 + 4)(60 - 4) =\)

\(60^2 - 4^2 = 3600 - 16 = 3584\)

г) \(201 \cdot 199 = (200 + 1)(200 - 1) =\)

\(=200^2 - 1^2 = 40000 - 1 = 39999\)

д) \(74 \cdot 66 = (70 + 4)(70 - 4) =\)

\(=70^2 - 4^2 = 4900 - 16 = 4884\)

е) \(1002 \cdot 998 = \)

\(=(1000 + 2)(1000 - 2) =\)

\(=1000^2 - 2^2 = 1000000 - 4 =\)

\(=999996\)

ж) \(1{,}05 \cdot 0{,}95 =\)

\(=(1 + 0{,}05)(1 - 0{,}05) =\)

\(=1^2 - (0{,}05)^2 = 1 - 0{,}0025 =\)

\(=0{,}9975\)

з) \(60{,}1 \cdot 59{,}9 = \)

\(=(60 + 0{,}1)(60 - 0{,}1) =\)

\(=60^2 - (0{,}1)^2 = 3600 - 0{,}01 =\)

\(=3599{,}99\)

Пояснения:

Использованная формула:

\( (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 \) - произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений.

Во всех пунктах каждое произведение сводится к разности квадратов двух чисел, близких к круглому значению (например, 100 и 1, 80 и 3, 60 и 4, 200 и 1 и т.д.). Для десятичных множителей аналогично берётся целое значение 1 или 60 и отклонение 0,05 или 0,1.

а) \(8m(1+2m) - (4m+3)(4m-3)=2m\)

\(8m+16m^2-(16m^2-9)=2m\)

\(8m+\cancel{16m^2}-\cancel{16m^2}+9=2m\)

\(8m+9=2m\)

\(8m-2m=-9\)

\(6m=-9\)

\(m=-\frac{9}{6}\)

\(m=-\frac{3}{2}\)

\(m=-1,5\)

Ответ: \(m=-1,5\).

б) \(x-3x(1-12x)=11-(5-6x)(6x+5)\)

\(x-3x+36x^2 = 11- (25 - 36x^2\)

\(-2x+36x^2 = 11- 25 + 36x^2\)

\(-2x+36x^2=36x^2-14\)

\(-2x + \cancel{36x^2} - \cancel{36x^2} = -14\)

\(-2x=-14\)

\(x=\frac{14}{2}\)

\(x=7\)

Ответ: \(x=7\).

Пояснения:

Использованные приемы и формулы:

1) \( (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 \) - произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений.

2) Умножение одночлена на многочлен:

\(a(b+c) = ab+ac\).

3) Раскрытие скобок: если перед скобками стоит знак минус, то при их раскрытии нужно поменять все знаки в скобках на противоположные:

\(a - (b + c) = a - b - c\).

4) При раскрытии формул, использовали свойство степени:

\((a\cdot{b})^n = a^nb^n.\)

5) Правило сложения подобных членов: складываем коэффициенты при одинаковых степенях переменных:

\(ax + bx=(a+b)x\).

6) Корни уравнения не изменяются если слагаемые перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом их знаки.

7) Линейное уравнение вида \(ax=b\) при \(a\neq0\) имеет единственный корень: \(x = \frac{b}{a}\).

В пункте а) сначала раскрыты скобки в обоих произведениях: в первом, умножив одночлен на многочлен, во втором по формуле разности квадратов. Затем выполнено упрощение выражения, привели подобные члены и решили полученное линейное уравнение.

В пункте б) сначала раскрыты скобки умножением одночлена на многочлен, затем справа произведение разности и суммы двух выражений преобразовано по формуле. После приведения подобных членов получили линейное уравнение и решили его.