Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№879 учебника 2023-2025 (стр. 176):
Представьте выражение в виде многочлена:
а) \(( -3xy + a )( 3xy + a )\);
б) \(( -1 - 2a^2b )( 1 - 2a^2b )\);
в) \(( 12a^3 - 7x )( -12a^3 - 7x )\);
г) \((-10p^4 + 9)(9 - 10p^4)\);
д) \(( 0{,}2x + 10y )( 10y - 0{,}2x )\);
е) \(( 1{,}1y - 0{,}3 )( 0{,}3 + 1{,}1y )\).
№879 учебника 2013-2022 (стр. 176):
Докажите тождество:
а) \((a + b)^2 - 4ab = (a - b)^2\);
б) \((a - b)^2 + 4ab = (a + b)^2\);
в) \((x + 3)^3 + (x - 3)^3 = 2x^3 + 54x\).
№879 учебника 2023-2025 (стр. 176):
Вспомните:
№879 учебника 2013-2022 (стр. 176):
Вспомните:
№879 учебника 2023-2025 (стр. 176):
а) \(( -3xy + a )( 3xy + a ) =\)
\(=( a - 3xy )( a + 3xy ) =\)
\(=a^2 - (3xy)^2 = a^2 - 9x^2y^2.\)
б) \(( -1 - 2a^2b )( 1 - 2a^2b ) =\)
\(=-(1 + 2a^2b)(1 - 2a^2b) =\)
\(=-(1 - (2a^2b)^2) = 4a^4b^2 - 1.\)
в) \(( 12a^3 - 7x )( -12a^3 - 7x ) =\)
\(=-(12a^3 - 7x)(12a^3 + 7x) =\)
\(=-( (12a^3)^2 - (7x)^2 ) = \)
\(=49x^2 - 144a^6.\)
г) \((-10p^4 + 9)(9 - 10p^4) =\)
\(=(9 - 10p^4)(9 - 10p^4) =\)
\(=(9 - 10p^4)^2= \)
\(=9^2 - 2\cdot9\cdot10p^4 + (10p^4)^2=\)
\(= 81 - 180p^4 + 100p^8.\)
д) \(( 0{,}2x + 10y )( 10y - 0{,}2x ) =\)
\(=( 10y + 0{,}2x )( 10y - 0{,}2x ) =\)
\(= (10y)^2 - (0{,}2x)^2 = 100y^2 - 0{,}04x^2.\)
е) \(( 1{,}1y - 0{,}3 )( 0{,}3 + 1{,}1y ) =\)
\(=( 1{,}1y - 0{,}3 )( 1{,}1y + 0{,}3 ) =\)
\(=(1{,}1y)^2 - (0{,}3)^2 = 1{,}21y^2 - 0{,}09.\)
Пояснения:
Использованные формулы:
1) \( (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 \) - произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений.
2) \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) - квадрат разности двух выражений.
Также помним, чтобы записать сумму, противоположную сумме нескольких слагаемых, надо изменить знаки данных слагаемых:
\(-(a + b) = -a - b.\)
При выполнении преобразований, использовали свойства степени:
\((a\cdot{b})^n = a^nb^n;\)
\((a^m)^n = a^{mn}.\)
Во всех пунктах, кроме пункта г), произведение двучлена и двучлена с обратным знаком даёт разность квадратов. В случаях с обратным порядком или с минусом перед выражением дополнительно выносили «–» перед разложением, но конечный результат всегда равен \(a^2 - b^2\).
В пункте г) применяем формулу квадрата разности двух выражений.
№879 учебника 2013-2022 (стр. 176):
а) \((a + b)^2 - 4ab = (a - b)^2\)
\( (a + b)^2 - 4ab =\)
\(=a^2 + 2ab + b^2 - 4ab =\)
\(=a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2. \)
Тождество доказано.
б) \((a - b)^2 + 4ab = (a + b)^2\)
\( (a - b)^2 + 4ab =\)
\(=a^2 - 2ab + b^2 + 4ab =\)
\(=a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2. \)
Тождество доказано.
в) \((x + 3)^3 + (x - 3)^3 = 2x^3 + 54x\).
\((x + 3)^3 + (x - 3)^3 =\)
\(= x^3 + \cancel{9x^2} + 27x + \cancel{27} + x^3 - \cancel{9x^2} + 27x - \cancel{27}= \)
\(= 2x^3 + 54x. \)
Тождество доказано.
Пояснения:
Равенство, верное при любых значениях переменных, называется тождеством. Чтобы доказать данные тождества, в каждом случае преобразуем левую часть и получаем правую часть.
Использованные формулы:
1) \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) - квадрат разности двух выражений.
2) \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) - квадрат суммы двух выражений.
3) \( (a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 \) - куб разности двух выражений.
4) \( (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \) - куб суммы двух выражений.
1. В пунктах а) и б) раскрыли скобки по формуле квадрата суммы и квадрата разности:
– для а): \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\), затем вычли \(4ab\) и получили
\(a^2 - 2ab + b^2\), что соответствует
\((a - b)^2 \).
– для б): \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\), затем прибавили \(4ab\) и получили
\(a^2 + 2ab + b^2\), что соответствует
\((a + b)^2 \).
2. В пункте в) раскрыли кубы двучленов:
– \((x+3)^3 = x^3 + 9x^2 + 27x + 27\).
– \((x-3)^3 = x^3 - 9x^2 + 27x - 27\).
При сложении сократились члены \(9x^2\) и \(-9x^2\), а также числа \(27\) и \(-27\), остались \(2x^3 + 54x\).
Вернуться к содержанию учебника