Упражнение 873 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \((x^2 - 5)(x^2 + 5) =\)

\(=(x^2)^2 - 5^2 = x^4 - 25\)

б) \((4 + y^2)(y^2 - 4) =\)

\(=(y^2)^2 - 4^2 = y^4 - 16\)

в) \((9a - b^2)(b^2 + 9a) =\)

\(=(9a)^2 - (b^2)^2 = 81a^2 - b^4\)

г) \((0{,}7x + y^2)(0{,}7x - y^2) =\)

\(=(0{,}7x)^2 - (y^2)^2 = 0{,}49x^2 - y^4\)

д) \((10p^2 - 0{,}3q^2)(10p^2 + 0{,}3q^2) =\)

\(=(10p^2)^2 - (0{,}3q^2)^2 =\)

\(=100p^4 - 0{,}09q^4\)

е) \((a^3 - b^2)(a^3 + b^2) =\)

\(=(a^3)^2 - (b^2)^2 = a^6 - b^4\)

ж) \((c^4 + d^2)(d^2 - c^4) = \)

\(=(d^2)^2 - (c^4)^2 = d^4 - c^8\)

з) \((5x^2 + 2y^3)(5x^2 - 2y^3) =\)

\(=(5x^2)^2 - (2y^3)^2 = 25x^4 - 4y^6\)

и) \((1{,}4c - 0{,}7y^3)(0{,}7y^3 + 1{,}4c) =\)

\(=(1{,}4c)^2 - (0{,}7y^3)^2 =\)

\(=1{,}96c^2 - 0{,}49y^6\)

к) \((1{,}3a^5 - 0{,}1b^4)(1{,}3a^5 + 0{,}1b^4) =\)

\(=(1{,}3a^5)^2 - (0{,}1b^4)^2 =\)

\(=1{,}69a^{10} - 0{,}01b^8\)

Пояснения:

Использованная формула:

\( (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 \) - произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений.

Также помним свойства степени:

\((a\cdot{b})^n = a^nb^n;\)

\((a^m)^n = a^{m\cdot{n}}.\)

а) \((x-2)(x+2)-x(x+5)=\)

\(=(x^2-4)-(x^2+5x)=\)

\(=\cancel{x^2}-4-\cancel{x^2}-5x=\)

\(=-5x-4\).

б) \(m(m-4)+(3-m)(3+m)=\)

\(=m^2-4m + (9-m^2)=\)

\(=\cancel{m^2} - 4m+9-\cancel{m^2}=-4m+9\).

в) \((4x-a)(4x+a)+2x(x-a)=\)

\(=16x^2-a^2 + 2x^2-2ax=\)

\(=18x^2-2ax-a^2\).

г) \(2a(a+b)-(2a+b)(2a-b)=\)

\(=2a^2+2ab-(4a^2-b^2)=\)

\(=2a^2+2ab-4a^2+b^2=\)

\(=-2a^2+2ab+b^2\).

д) \((5a-3c)(5a+3c)-(7c-a)(7c+a)=\)

\(=25a^2-9c^2-(49c^2-a^2)=\)

\(=25a^2-9c^2-49c^2+a^2=\)

\(=26a^2-58c^2\).

е) \((4b+10c)(10c-4b)+(-5c+2b)(5c+2b)=\)

\(=(10c+4b)(10c-4b)+(2b-5c)(2b+5c)=\)

\(=100c^2-16b^2+4b^2-25c^2=\)

\(=75c^2-12b^2\).

ж) \((3x-4y)^2-(3x-4y)(3x+4y)=\)

\(=9x^2-24xy+16y^2-(9x^2-16y^2)=\)

\(=\cancel{9x^2}-24xy+16y^2-\cancel{9x^2}+16y^2=\)

\(=32y^2-24xy\).

з) \((2a+6b)(6b-2a)-(2a+6b)^2=\)

\(=36b^2-4a^2-(4a^2+24ab+36b^2)=\)

\(=\cancel{36b^2}-4a^2-4a^2-24ab-\cancel{36b^2}=\)

\(=-8a^2-24ab\).

Пояснения:

Использованные приемы и формулы:

1) \( (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 \) - произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений.

2) \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) - квадрат суммы двух выражений.

3) \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) - квадрат разности двух выражений.

4)  При раскрытии формул, использовали свойство степени:

\((a\cdot{b})^n = a^nb^n.\)

5) Умножение одночлена на многочлен:

\(a(b+c) = ab+ac\).

6) Раскрытие скобок: если перед скобками стоит знак минус, то при их раскрытии нужно поменять все знаки в скобках на противоположные:

\(a - (b + c) = a - b - c\).

7) Приведение подобных членов: складываем (вычитаем) коэффициенты у одночленов, имеющих одинаковую буквенную часть:

\(ax + bx = (a + b)x\).

В пунктах а) - г) применили формулу произведения разности двух выражений и их суммы и правило умножения одночлена на многочлен, затем раскрыли скобки, учитывая знаки, стоящие перед ними, и привели подобные слагаемые.

В пунктах д) и е) дважды применили формулу произведения разности двух выражений и их суммы, учитывая переместительное свойство сложения рациональных чисел, затем раскрыли скобки, учитывая знаки, стоящие перед ними, и привели подобные слагаемые.

В пункте ж) применили формулу квадрата разности и формулу произведения разности двух выражений и их суммы, затем раскрыли скобки, учитывая знаки, стоящие перед ними, и привели подобные слагаемые.

В пункте з) применили формулу произведения разности двух выражений и их суммы и формулу квадрата суммы, затем раскрыли скобки, учитывая знаки, стоящие перед ними, и привели подобные слагаемые.