Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№42 учебника 2023-2026 (стр. 16):
На упаковке товара указано, что его масса равна 420 г ± 3%. В каких границах заключена масса \(a\) г этого товара?
№42 учебника 2014-2022 (стр. 20):
Укажите область определения и найдите нули функции:
а) \(y = \dfrac{x - \sqrt{x+6}}{x+5}\);
б) \(y = \dfrac{4x^2 + 25x}{2x - \sqrt{10-6x}}\).
№42 учебника 2023-2026 (стр. 16):
Вспомните:
№42 учебника 2014-2022 (стр. 20):
Вспомните:
№42 учебника 2023-2026 (стр. 16):
\(a =420 \;г ± 3\%\)
\(3\%\) от \(420\) г:
\[ 420\cdot0{,}03 = 12{,}6. \]
\(a =420 ± 12,6 \) г
\[ 420 - 12{,}6 \le a \le 420 + 12{,}6 \]
\[ 407{,}4\; г \le a \le 432{,}6 \;г \]
Пояснения:
Запись вида \(y =a \pm h\) означает, что число \(y\) известно приближённо с абсолютной погрешностью \(h\). Это значит, что истинное значение лежит в интервале:
\[ a-h\le y \le a+h. \]
Сначала находим абсолютную погрешность, которая в рассматриваемом случае выражена \(3\%\).
В задаче масса 420 г и погрешность 3%. Поэтому абсолютная погрешность равна:
\[ 420\cdot0{,}03 = 12{,}6. \]
Далее вычисляем нижнюю и верхнюю границы интервала истинной массы:
\[ a_{\text{мин}} = 420 - 12{,}6 = 407{,}4, \] \[ a_{\text{макс}} = 420 + 12{,}6 = 432{,}6. \]
Итак, масса товара может находиться в пределах от \(407,4\) г до \(432,6\) г.
№42 учебника 2014-2022 (стр. 20):
а) \(y = \dfrac{x - \sqrt{x+6}}{x+5}\).
1. \( \begin{cases}x+6 \geq 0,\\ x+5 \neq 0 \end{cases} \)
\( \begin{cases}x \geq -6,\\ x\neq -5 \end{cases} \)
\(\color{blue}D=[ -6;-5)\cup(-5; +\infty)\).
2. \(x - \sqrt{x+6} = 0\)
\(x = \sqrt{x+6}\)
\(x^2 = x + 6, x\geq0\)
\(x^2 - x - 6 = 0\)
\(D = b^2-4ac=(-1)^2 - 4\cdot1\cdot(-6) =\)
\(=1+24=25\), \(\sqrt{D}=5\)
\(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\)
\(x_1 = \dfrac{1+5}{2}=3\)
\(x_2= \dfrac{1-5}{2}=-2\) - не подходит.
Ответ: \(D=[ -6;-5)\cup(-5; +\infty)\); нуль функции \(3\).
б) \(y = \dfrac{4x^2+25x}{2x-\sqrt{10-6x}}\).
1. \(10-6x \geq 0\)
\(-6x \geq -10\)
\( x \leq \frac{10}{6}\)
\( x \leq \frac{5}{3}\)
\( x \leq 1\frac{2}{3}\)
\(2x - \sqrt{10-6x} \neq 0\).
Решим:
\(2x = \sqrt{10-6x}\)
\(4x^2 = 10-6x\)
\(4x^2+6x-10=0\)
\(D =b^2-4ac= 6^2 - 4\cdot4\cdot(-10) =\)
\(=36+160=196\); \(\sqrt{D}=14\)
\(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\)
\(x_1 = \dfrac{-6 + 14}{8}=\dfrac{8}{8}=1\)
\(x_2 = \dfrac{-6 - 14}{8}= \dfrac{-20}{8}=-\frac{5}{2}=-2,5\) - не подходит, так как при подстановке этого значения в равенство \(2x = \sqrt{10-6x}\), получим отрицательное значение корня, что невозможно,\(\Rightarrow x\neq1\).
\(\color{blue}D=(-\infty; 1) \cup(1; 1\tfrac{2}{3}] \).
2. Нули функции:
\(4x^2+25x=0\)
\(x(4x+25)=0\)
\(x=0\) или \(4x+25=0\)
\(4x=-25\)
\(x=-\frac{25}{4}\)
\(x=-6,25\)
| - | 2 | 5 | 4 | ||||||||||||
| 2 | 4 | 6 | , | 2 | 5 | ||||||||||
| - | 1 | 0 | |||||||||||||
| 8 | |||||||||||||||
| - | 2 | 0 | |||||||||||||
| 2 | 0 | ||||||||||||||
| 0 |
Ответ: \(D=(-\infty; 1) \cup(1; 1\tfrac{2}{3}] \); нули функции \(0;-6,25.\)
Пояснения:
Для поиска области определения учитываем: — подкоренное выражение должно быть неотрицательным; — знаменатель не равен нулю.
Для нахождения нулей функции решаем уравнение числитель = 0, но проверяем, чтобы найденные корни не противоречили области определения и не обращали знаменатель в ноль.
Вернуться к содержанию учебника