Погрешность и точность приближения

Абсолютной погрешностью приближенного значения называют модуль разности точного и приближенного значений.

Пример:

При выполнении вычислений дробь \(\frac{1}{7}\) заменили десятичной дробью \(0{,}14\). Какова абсолютная погрешность этого приближения?

Решение:

\(\frac{1}{7} \approx 0{,}14\)

Абсолютная погрешность:

\(\left|\frac{1}{7} - 0,14\right| = \left|\frac17 ^{\color{blue}{\backslash100}} - \frac{14}{100}^{\color{blue}{\backslash7}}\right| = \)

\(= \left|\frac{100}{700} - \frac{98}{700}\right| =\left|\frac{2}{700} \right| = \)

\(=\frac{\cancel2}{\cancel{700}}^ {\color{blue}{1}} _{ {\color{blue}{350}} } = \frac{1}{350}\).

Запись \(x = a \pm h\) говорит о том, что число \(a\) является приближенным значением \(x\) с точностью до \(h\), то есть точное значение переменной \(x\) заключено между числами \(a - h\) и \(a + h\):

\(a - h \le x \le a + h\).

Пример:

В каких границах заключено число \(y\), если \(y = 6{,}5 \pm 0{,}1\).

Решение:

\(6{,}5 - 0{,}1 \le y \le 6{,}5 + 0{,}1\)

\(6{,}4 \le y \le 6{,}6\).

Относительной погрешностью приближенного значения называется отношение абсолютной погрешности к модулю приближенного значения.

Относительную погрешность принято выражать в процентах.

Пример:

Поверхность Земли равна 510,2 млн км² (с точностью до 0,1 млн км²). Оцените относительную погрешность приближённого значения.

Решение:

\(\frac{0{,}1}{510{,}2}\cdot100\% \approx 0{,}000196\cdot100\% =\)

\(=0,0196\%\approx0,02\%\).

В тех случаях, когда абсолютная погрешность приближенного значения неизвестна, а известна только его точность, ограничиваются оценкой относительной погрешности.