Задание 155 - ГДЗ Геометрия 7-9 класс. Атанасян. Учебник. Страница 48

1 случай

АМ₁ =PQ, АМ₂ = PQ.

Ответ: 2 решения.

2 случай

АМ = PQ.

Ответ: 1 решение.

3 случай

Ответ: нет решений.

Пояснения:

Решение данной задачи сводится к тому, что нам нужно построить отрезок АМ, равный отрезку PQ. Т.е. нужно построить окружность радиуса PQ с центром в точке А и найти точку (точки) пересечения этой окружности с окружностью данной в условии задачи. Расстояние от точки А до точки (точек) пересечения двух окружностей будет равно PQ (т.к. все точки окружности располагаются от ее центра на одном и том же расстоянии, равном ее радиусу), значит, полученная точка (точки) пересечения и будет являться искомой точкой (точками) М. Возможны три случая решения данной задачи, все зависит от того, как расположены точка А и окружность данная в условии задачи друг относительно друга.

1 случай

С помощью линейки строим произвольный отрезок PQ и с помощью циркуля строим окружность произвольного радиуса. Отмечаем точку А, не лежащую на окружности данной в условии задачи так, что расстояние от точки А до данной окружности меньше длины отрезка PQ.

Далее с помощью циркуля измеряем отрезок PQ и строим часть окружности (смотри выделенное красным) радиуса PQ  с центром в точке А. В данном случае можно не строить всю окружность целиком, так как нам важна только та часть, которая может иметь точки пересечения с данной окружностью.

Получаем, что окружности пересекаются в двух точках, обозначим их М₁ и М₂.

Каждая из этих точек будет находится на расстоянии PQ от точки А, так как АМ₁ и АМ₂ радиусы данной окружности, а все радиусы окружности равны, т.е. АМ₁ = РQ, АМ₂ = РQ, следовательно, задача в данном случае будет иметь два решения.

2 случай

С помощью линейки строим произвольный отрезок PQ и с помощью циркуля строим окружность произвольного радиуса. Отмечаем точку А, не лежащую на окружности данной в условии задачи так, что расстояние от точки А до данной окружности равно длине отрезка PQ.

Далее с помощью циркуля измеряем отрезок PQ и строим часть окружности (смотри выделенное красным) радиуса PQ  с центром в точке А. В данном случае можно не строить всю окружность целиком, так как нам важна только та часть, которая может иметь точки пересечения с данной окружностью.

Получаем, что окружности пересекаются в одной точке, обозначим ее М_.

Точка М будет находится на расстоянии PQ от точки А, так как АМ₁ радиус данной окружности, а все радиусы окружности равны, т.е. АМ = РQ, следовательно, задача в данном случае будет иметь одно решение.

3 случай

С помощью линейки строим произвольный отрезок PQ и с помощью циркуля строим окружность произвольного радиуса. Отмечаем точку А, не лежащую на окружности данной в условии задачи так, что расстояние от точки А до данной окружности больше длины отрезка PQ.

Далее с помощью циркуля измеряем отрезок PQ и строим часть окружности (смотри выделенное красным) радиуса PQ  с центром в точке А. В данном случае можно не строить всю окружность целиком, так как нам важна только та часть, которая может иметь точки пересечения с данной окружностью.

Получаем, что точек пересечения окружности не имеют, т.е. в данном случае невозможно построить отрезок АМ такой, что АМ = PQ, учитывая то, что точка М должна лежать на окружности данной в условии задачи, значит решений нет.