Сложение натуральных чисел

К нескольким натуральным числам прибавим 1:

Мы видим, что когда мы прибавляем к натуральному числу 1, получаем следующее за ним натуральное число, т.е. следующее число больше предыдущего на единицу. Теперь к 4 прибавим 3: 4+3: для этого к 4 прибавим 3 раза единицу. Учитывая, что при прибавлении к числу единицы получаем следующее число, получим:

Но мы записываем коротко: 4+3=7.

Сложение чисел на координатном луче

Изобразим координатный луч. Отметим на нем начало координат, единичный отрезок и несколько чисел, следующих друг за другом:

Рассмотрим наш пример: 4+3. Для того чтобы к 4 прибавить 3 на координатном луче, необходимо от точки 4 вправо отложить 3 единичных отрезка: 

И мы попадем в точку 7, следовательно 4+3=7.

Теперь попробуем отложить на луче, от точки  3 6 единичных отрезков, и от точки 6 3 единичных отрезка, другими словами к 3 прибавим 6 и  к 6 прибавим 3 :

Мы видим, что и в первом и во втором случае мы попадаем в одну и ту же точку: 9, следовательно сумма чисел 3 и 6 и 6 и 3 одинакова и равна 9. Это можно записать с помощью равенства:

$\mathrm{}$В этом случае мы меняем местами слагаемые и получаем первое свойство сложения - переместительное свойство:

• От перестановки слагаемых сумма не меняется

Рассмотрим с помощью координатного луча следующие суммы: и , для этого от  точки 3 сначала отложим (6+7) единичных отрезков, а затем от точки 3, отложим сначала 6 единичных отрезков, а затем от получившийся точки отложим еще 7 единичных отрезков:

Заметим, что и в первом и во втором случае мы попадаем в одну точку: 16. Это можно записать равенством:

Мы получили второе свойство сложения - сочетательное свойство:

•  Чтобы прибавить к числу сумму двух чисел, можно сначала прибавить первое слагаемое, а потом к полученной сумме прибавить второе слагаемое

К натуральному числу можно прибавлять не только натуральное число, но еще и нуль, изобразим на луче прибавление нуля к 7:

Так как нам необходимо отложить от точки 0 единичных отрезков, то мы попадаем снова в ту же точку,т.е. значение числа от прибавления к нему нуля не изменилось: 7+0=7 . Применив переместительное свойство получим: 7+0=0+7=7, отсюда получаем третье свойство сложения - свойство нуля:

• Если прибавить к нулю какое-нибудь число, то получится прибавленное число

Свойства сложения

1. Переместительное свойство

От перестановки слагаемых сумма не меняется

Пример: 9+8=8+9=17

2. Сочетательное свойство

Чтобы прибавить к числу сумму двух чисел, можно сначала прибавить первое слагаемое, а потом к полученной сумме прибавить второе слагаемое

Пример: 7+(3+9)=(7+3)+9=19

3. Свойство нуля

Если прибавить к нулю какое-нибудь число, то получится прибавленное число

Пример: 0+10=10

Сравнение сумм натуральных чисел

Сравним (15+81) и (15+77), для этого рассмотрим слагаемые этих двух сумм: Мы видим, что первые слагаемые у них одинаковые, поэтому переходим к сравнению вторых слагаемых: 81 >77, поэтому (15+81)>(15+77).

Теперь сравним (21+15) и (34+54), для этого опять рассмотрим слагаемые, в данном случае одинаковых у нас нет, но мы видим, что слагаемые первой суммы меньше слагаемых второй суммы, а значит мы можем записать: (21+15)<(34+54).

Бывают случаи, когда нельзя однозначно сказать, какая сумма больше. Например сравним суммы: (26+33) и (18+43), мы видим, что первое слагаемое первой суммы больше первого слагаемого второй суммы, но второе слагаемое первой суммы меньше второго слагаемого второй суммы. В таком случае необходимо наши суммы привести к виду первого примера, т.е. 26=18+8, следовательно, 26+33=(18+8)+33=18+8+33=18+41, теперь мы сравниваем (18+41) и (18+43), первые слагаемые равны, а 41<43, следовательно(18+41)<(18+43) и мы можем сказать, что (26+33)<(18+43).

Из выше сказанного, делаем вывод: При увеличении слагаемых сумма увеличивается, а при уменьшении уменьшается.

Письменный прием сложения ("сложение в столбик")

Часто при решении задач, нам необходимо складывать многозначные числа, поэтому считать в "уме" или чертить координатный луч не целесообразно, для решения таких задач был придуман письменный прием сложения или "сложение в столбик", который помогает сложение многозначных чисел свести к сложению однозначных чисел, которое мы можем производить легко. Рассмотрим пример:

Сложение начинаем справа, с разряда единиц: 1+2=3, записываем 3 под единицами, и переходим в разряд десятков: 7+8=15 >10, значит единицы десятков(5) записываем под десятками, а десяток десятков - это единица сотен, записываем ее над разрядом сотен, чтобы не забыть и переходим в следующий разряд: 8+3+1=12 >10, поступаем аналогично, единицы(2) записываем под рассматриваемым разрядом, а десятки записываем над следующим разрядом, далее складываем единицы тысяч: 5+4+1=10=10, здесь 0 единиц, поэтому под рассматриваемым разрядом ставим нуль, а десяток переносим в разряд десятков тысяч: 4+1=5. Получаем, что 45871+4382=50253.

Вывод: Если при сложении чисел одного разряда число получается больше или равное 10, то 1 десяток записываем над следующим разрядом, а единицы под рассматриваемым разрядом.