Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№682 учебника 2023-2026 (стр. 188):
а) Телевизор стоил 10000 р. В апреле он подорожал на 30%, а в декабре подешевел на 40%. Сколько стал стоить телевизор в декабре?
б) Цену товара повысили на 30%, а через некоторое время снизили на 40%. На сколько процентов изменилась первоначальная цена товара?
№682 учебника 2014-2022 (стр. 177):
Докажите, что если \(d\) — разность арифметической прогрессии, а \(x_m\) и \(x_n\) — члены этой прогрессии, причём \(m\ne n\), то
\[d=\frac{x_m-x_n}{m-n}.\]
№682 учебника 2023-2026 (стр. 188):
№682 учебника 2014-2022 (стр. 177):
Вспомните:
№682 учебника 2023-2026 (стр. 188):
а) 1) \(30\% = 30:100 = 0,3 \)
\(10000\cdot0{,}3=3000\) (р.) - сумма, на которую подорожал телевизор.
2) \(10000+3000=13000\) (р.) - стоимость телевизора в декабре.
3) \(40\% =40:100=0,4\)
\(13000\cdot0,4=5200\) (р.) - сумма, на которую подорожал телевизор.
4) \(13000-5200=7800\) (р.) - стоимость телевизора в декабре.
Ответ: \(7800\) рублей.
б) Пусть первоначальная цена была \(x\) р.
1) \(30\%=30:100=0,3\)
\(0,3x\) (р.) - сумма повышения цены.
2) \(x+0,3x=1,3x\) (р.) - цена товара после повышения.
3) \(40\%=40:100=0,4\)
\(0,4\cdot1,3x=0,52x\) (р.) - сумма понижения цены.
4) \(1,3x-0,52x=0,78x\) (р.) - итоговая цена, т.е. итоговая цена составляет \(78\%\) от первоначальной.
5) \(100\%-78\%=22\%\)
Ответ: первоначальная цена изменилась на \(22\%.\)
Пояснения:
Процентом от некоторой величины называется одна сотая ее часть и обозначают один процент так: 1%. Величина, от которой вычисляются проценты составляет 100 своих сотых долей, т.е. 100 %.
Чтобы найти, процент от числа, надо преобразовать проценты в десятичную дробь, для этого нужно число, стоящее перед знаком %, разделить на 100, затем умножить полученную дробь на данное число.
№682 учебника 2014-2022 (стр. 177):
\(x_m\) и \(x_n\),члены арифметической прогрессии с разностью \(d\), \(m \neq n\).
Доказать: \[d=\frac{x_m-x_n}{m-n}.\]
Доказательство:
\(x_m=x_1+(m-1)d\)
\(x_n=x_1+(n-1)d\)
\(x_m-x_n=(x_1+(m-1)d)-(x_1+(n-1)d)\)
\(=\cancel{x_1}+(m-1)d-\cancel{x_1}-(n-1)d\)
\(x_m-x_n=(m-1)d - (n-1)d\)
\(x_m-x_n=((m-1)-(n-1))d \)
\(x_m-x_n=(m-\cancel1-n+\cancel1)d \)
\(x_m-x_n=(m-n)d \) \(/ : (m-n)\)
\(\dfrac{x_m-x_n}{m-n} = d\)
Что и требовалось доказать.
Пояснения:
Используемые правила и формулы:
1) Формула \(k\)-го члена арифметической прогрессии:
\[x_k=x_1+(k-1)d.\]
2) Свойства вычитания: при вычитании скобок знаки у слагаемых меняются на противоположные.
3) Вынесение множителя:
если \(A=(m-n)d\) и \(m\ne n\), то можно разделить обе части на \(m-n\).
Почему получается формула для \(d\).
Так как \((x_k)\) — арифметическая прогрессия, любой её член выражается через первый член и разность:
\(x_m=x_1+(m-1)d,\)
\(x_n=x_1+(n-1)d.\)
Вычтем второе равенство из первого: первый член \(x_1\) сокращается, остаётся разность коэффициентов при \(d\):
\[x_m-x_n=((m-1)-(n-1))d=(m-n)d.\]
Так как \(m\ne n\), то \(m-n\ne 0\), значит можно разделить обе части на \(m-n\):
\[d=\frac{x_m-x_n}{m-n}.\]
Вернуться к содержанию учебника