Упражнение 1136 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( 5\sqrt{2} + 3\sqrt{5} < 3\sqrt{7} + \sqrt{45}\)

\( \sqrt{2\cdot 25} + \sqrt{5\cdot 9} < \sqrt{7\cdot 9} + \sqrt{45}\)

\( \sqrt{50} + \sqrt{45} < \sqrt{63} + \sqrt{45}\)

\( \sqrt{50} <\sqrt{63} \)

б) \( 6\sqrt{2} - 2\sqrt{7} > 4\sqrt{3} - \sqrt{28} \)

\( \sqrt{2\cdot 36} - \sqrt{7 \cdot 4}>\sqrt{3\cdot16} - \sqrt{28} \)

\( \sqrt{72} - \sqrt{28}>\sqrt{48} - \sqrt{28} \)

\( \sqrt{72} > \sqrt{28} \)

в) \( 5\sqrt{3} + 3\sqrt{5} < \sqrt{75} + 7\sqrt{2} \)

\( \sqrt{3\cdot25} + \sqrt{5\cdot9} < \sqrt{75} + \sqrt{2\cdot49} \)

\( \sqrt{75} + \sqrt{45} < \sqrt{75} + \sqrt{98} \)

\(\sqrt{45} < \sqrt{98} \)

г) \( \sqrt{112} - 2\sqrt{5} > 4\sqrt{7} - \sqrt{23} \)

\( \sqrt{112} - \sqrt{5\cdot4} > \sqrt{7\cdot16} - \sqrt{23} \)

\( \sqrt{112} - \sqrt{20} > \sqrt{112} - \sqrt{23} \)

\( \sqrt{20} < \sqrt{23} \)

Пояснения:

Приемы использованные при сравнении:

1) \(a\sqrt{b} = \sqrt{a^2b}\).

2) Чем больше подкоренное выражение, тем больше значение самого корня.

3) Если одно из слагаемых в суммах одинаковое, то сравнение выполняют по второму слагаемому: чем больше второе слагаемое, тем больше сумма (пункты а) и в)).

4) Если в разностях вычитаемые одинаковые, то сравнение выполняют по уменьшаемым, чем больше уменьшаемое, тем больше разность (пункт б)).

5) Если в разностях одинаковые уменьшаемые, то сравнение выполняют по вычитаемым, чем больше вычитаемое, теме меньше разность (пункт г)).

Пусть скорости первого автомобиля \(x\) км/ч, а второго - \(y\) км/ч, тогда скорость их сближения \(x+y\) кмч. Расстояние между пунктами \(A\) и \(B\) — \(S\) км.

Составим систему уравнений:

\( \begin{cases} S = 3(x+y), \\[4pt] \frac Sx - \frac Sy = 1,1  /\times xy\end{cases} \)

\( \begin{cases} x+y = \frac S3, \\[4pt] Sy - Sx = 1,1xy\end{cases} \)

\( \begin{cases} x = \frac S3 - y, \\[4pt] Sy - S(\frac S3 - y) = 1,1(\frac S3 - y)y \end{cases} \)

\(Sy - \frac {S^2}{3} + Sy = \frac {1,1Sy}{3} -1,1y^2\)

\(2Sy - \frac {S^2}{3} = \frac {1,1Sy}{3} -1,1y^2\)  \(/\times3\)

\(6Sy - S^2 = 1,1Sy - 3,3y^2\) 

\(6Sy - S^2 - 1,1Sy + 3,3y^2 = 0\)

\(3,3y^2 + 4,9Sy - S^2 = 0\)

\(a = 3,3\),  \(b = 4,9S\),  \(c = -S^2\)

\(D = b^2 - 4ac=\)

\(=(4,9S)^2 - 4\cdot3,3\cdot(-S^2)=\)

\(=24,01S^2 + 13,2S^2 = 37,21S^2 > 0\) - уравнение имеет 2 корня.

\(\sqrt D = \sqrt{37,21S^2}= 6,1|S|=6,1S\)

\(y_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt D}{2a} \)

\(y_1 = \frac{-4,9S+6,1S}{2\cdot3,3} = \frac{1,2S}{6,6} = \)

\(=\frac{ ^{\color{blue}{2}} \cancel{12}S}{\cancel{66}_ {\color{blue}{11}} } =\frac{2S}{11}.\)

\(y_2 = \frac{-4,9S-6,1S}{2\cdot3,3} = \frac{11S}{6,6} = \)

\(=-\frac{ ^{\color{blue}{5}} \cancel{110}S}{\cancel{66}_ {\color{blue}{3}} } =-\frac{5S}{3} \) - не удовлетворяет условию.

\(x = \frac S3 ^{\color{blue}{\backslash11}} - \frac{2S}{11} ^{\color{blue}{\backslash3}} = \frac {11S}{33} - \frac{6S}{33}=\frac {5S}{33}\)

\(\frac{y}{x} = \frac{2S}{11} : \frac{5S}{33} =\frac{2\cancel S}{\cancel{11}} \cdot \frac{\cancel{33}}{5\cancel S} ^{\color{blue}{3}} = \)

\(=\frac65 = 1,2\)

Ответ: скорость второго автомобиля больше скорости первого в \(1{,}2\) раза.

Пояснения:

Решаем задачу с помощью системы уравнений.

Вводим обозначения: скорость первого автомобиля равна \(x\) км/ч, а скорость второго - \(y\) км/ч, тогда скорость их сближения \(x + y\) км/ч. Расстояние между \(A\) и \(B\) равно \(S\) км. Время движения до встречи равно \(3\) ч.

Чтобы найти расстояние, нужно время умножить на скорость. Тогда можем составить первое уравнение системы:

\(S = 3(x+y)\).

Чтобы найти время, нужно расстояние разделить на скорость. Тогда, учитывая то, что первый автомобиль пришёл в \(B\) на 1,1 ч позже, чем второй в \(A\), можем составить второе уравнение системы:

\(\frac Sx - \frac Sy = 1,1\).

Получаем систему из двух уравнений:

\( \begin{cases} S = 3(x+y), \\[4pt] \frac Sx - \frac Sy = 1,1  /\times xy\end{cases} \).

Решаем систему способом подстановки относительно переменных \(x\) и \(y\). Из первого уравнения выражаем переменную \(x\) и подставляем во второе уравнение. Далее решаем полученное уравнение относительно переменной \(y\) и находим два корня:

\(y_1 = \frac{2S}{11} \) и \(y_2 = -\frac{5S}{3}. \)

Но отрицательный корень не подходит, так как скорость не может быть отрицательным числом. Значит, скорость второго автомобиля:

\(y= \frac{2S}{11}\).

Возвращаясь в подстановку, скорость первого автомобиля:

\(x = \frac {5S}{33}\).

Чтобы узнать во сколько раз скорость второго автомобиля больше скорости первого, нужно скорость второго автомобиля разделить на скорость первого:

\(\frac{y}{x} =1,2\)

Значит, скорость второго автомобиля больше скорости первого в \(1{,}2\) раза.