Упражнение 1123 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(0{,}6x^2 - 3{,}6x = 0\)

\[ 0{,}6x(x - 6) = 0. \]

\( 0{,}6x = 0 \)   или   \(x - 6 = 0\)

\(x = 0\)                  \(x = 6 \)

Ответ: \(x = 0\) или \(x = 6.\)

б) \(c^2 - 5 = 0\)

\( c^2 = 5\)

\(c = \pm\sqrt{5}\)

Ответ: \(c = \pm\sqrt{5}.\)

в) \(2x^2 + 17x = 0\)

\( x(2x + 17) = 0\)

\( x = 0 \)  или  \(2x + 17 = 0\)

                     \(2x = -17\)

                     \( x = -\frac{17}{2}\)

                     \(x = -8,5\)

Ответ: \(x = 0\) или \(x = -8,5.\)

г) \(0{,}5x^2 + 9 = 0\)

\( 0{,}5x^2 = -9 \)

\(x^2 = -18\)

Ответ: корней нет.

Пояснения:

1) Уравнения вида \(ax^2 + bx = 0\) решаются вынесением общего множителя \(x\): \[ x(ax + b) = 0 \Rightarrow x_1 = 0,\, x_2 = -\frac{b}{a}. \]

2) Уравнение вида \(x^2 = a\) имеет два корня, если \(a > 0\): \(x = \pm\sqrt{a}\); если \(a < 0\), то действительных корней нет.

\(x^{2} + x + m = 0\)

Пусть корни уравнения: \(x_1\) и \(x_2\).

\(x_1^2 + x_2^2 = 13\)

\(m\) - ?

По теореме Виета: \[ x_1 + x_2 = -1, \quad x_1x_2 = m. \]

\( x_1^2 + x_2^2 =\)

\(=(x_1^2 +2x_1x_2+ x_2^2) - 2x_1x_2=\)

\(=(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2\)

\((x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2=13\)

\((-1)^2 - 2m=13\)

\(1-2m = 13\)

\(-2m = 13 - 1\)

\(-2m = 12\)

\(m = -\frac{12}{2}\)

\(m = - 6\)

Ответ: \(m = -6.\)

Пояснения:

Для квадратного уравнения

\(x^2 + px + q = 0\) по теореме Виета выполняется: \[ x_1 + x_2 = -p, \quad x_1x_2 = q. \]

Формула для суммы квадратов корней выводится из тождества:

\( (x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2\),

следовательно,

\(x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2. \)

Подстановка значений из теоремы Виета позволяет выразить сумму квадратов через коэффициенты уравнения и найти \(m\).