Упражнение 1040 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\dfrac{a-1}{4}-1>\dfrac{a+1}{3}+8\)   \(/\times12\)

\( 3(a-1)-12>4(a+1)+96\)

\(3a - 3 - 12 > 4a + 4 + 96\)

\(3a-15>4a+100\)

\(3a - 4a > 100 +15\)

\(-a > 115\)   \(/\times (-1)\)

\( a<-115\)

Ответ: \((-\infty; -115)\).

б) \(\dfrac{3a-1}{2}-\dfrac{a-1}{4} > 0\)  \(/\times4\)

\(2(3a-1) - (a-1) > 0\)

\(6a - 2 - a + 1 > 0\)

\( 5a - 1 > 0\)

\(5a > 1\)   \(/ : 5\)

\(a > \frac15\)

\(a > 0,2\)

Ответ: \((0,2; +\infty)\).

в) \(\dfrac{1-2a}{4}-2<\dfrac{1-5a}{8}\)  \(/\times8\)

\(2(1 - 2a) -16 < 1-5a\)

\(2 - 4a-16 < 1 - 5a\)

\(-14 - 4a < 1 - 5a\)

\(-4a + 5a < 1 + 14\)

\(a < 15\)

Ответ: \((-\infty; 15)\).

г) \(\dfrac{5a}{6}-\dfrac{3a-1}{3}+\dfrac{2a-1}{2}<1\)  \(/\times6\)

\(5a - 2(3a - 1) + 3(2a - 1) < 6\)

\(5a - \cancel{6a} + 2 + \cancel{6a} - 3 < 6\)

\(5a - 1 <6\)

\(5a < 6 + 1\)

\(5a < 7\)   \(/ : 5\)

\(a < \frac{7}{5}\)

\(a < 1,4\)

Ответ: \((-\infty; 1,4)\).

Пояснения:

Сначала в каждом неравенстве избавляемся от знаменателей, домножив неравенство на общий знаменатель дробей, входящих в неравенство, учитывая то, что если обе части неравенства умножить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство. Затем, используя распределительное свойство умножения, раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые.

Затем при решении неравенств используем то, что:

- если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится равносильное ему неравенство;

- если обе части неравенства разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство;

- если обе части неравенства разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится равносильное ему неравенство.

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то точку на координатной прямой делаем закрашенной, а при записи промежутка используем квадратную скобку.

У \(-\infty\) и \(+\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.

\( \begin{cases} 0{,}5(2-x) - 1{,}5x < 6x - 1,\\ 1{,}3(2+x) + 0{,}7x < 3x + 2{,}4 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 1 - 0{,}5x - 1{,}5x < 6x - 1,\\ 2{,}6 + 1{,}3x + 0{,}7x < 3x + 2{,}4 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 1 - 2x < 6x - 1,\\ 2{,}6 + 2x < 3x + 2{,}4 \end{cases} \)

\( \begin{cases} -2x-6x < -1 - 1,\\ 2x - 3x < 2{,}4 - 2{,}6 \end{cases} \)

\( \begin{cases} -8x < -2,  /: (-8) \\ -x < -0,2   /:(-1) \end{cases} \)

\( \begin{cases} x > \frac28, \\ x > 0,2 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x >\frac14, \\ x > 0,2 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x >0,25, \\ x > 0,2 \end{cases} \)

Ответ: \(x \in(0,25; +\infty )\).

Пояснения:

В каждом неравенстве системы сначала раскрываем скобки. При раскрытии скобок мы пользовались распределительным свойством умножения:

\( k(a+b) = ka + kb,\)

\(k(a-b) = ka - kb. \)

2. Чтобы решить линейное неравенство, слагаемые с переменной переносим в левую часть неравенства, а слагаемые без переменной - в правую, приводим подобные и делим на коэффициент при \(x\). При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.

3. Для системы неравенств решение — это значения \(x\), удовлетворяющие всем неравенствам одновременно.

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

У \(-\infty\) и \(+\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.