Упражнение 1041 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\;\dfrac{x-0{,}5}{4}+\dfrac{x-0{,}25}{4}+\dfrac{x-0{,}125}{8}<0\) \(/\times8\)

\(2(x - 0,5) + 2(x - 0,25) + (x - 0,125) < 0\)

\(2x - 1 + 2x -0,5 + x - 0,125 < 0\)

\(5x - 1,625 < 0\)

\(5x < 1,625\)   \( / : 5\)

\(x < 0,325\)

Ответ: \((-\infty; 0,325)\).

б) \(\;\dfrac{5-x}{3}-\dfrac{1-x}{2}>1\)\(/\times6\)

\(2(5-x) - 3(1-x) > 6\)

\(10 - 2x -3 + 3x > 6\)

\(7 + x > 6\)

\(x > 6 - 7\)

\(x > - 1\)

Ответ: \((-1; +\infty)\).

Пояснения:

Сначала в каждом неравенстве избавляемся от знаменателей, домножив неравенство на общий знаменатель дробей, входящих в неравенство, учитывая то, что если обе части неравенства умножить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство. Затем, используя распределительное свойство умножения, раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые.

Затем при решении неравенств используем то, что:

- если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится равносильное ему неравенство;

- если обе части неравенства разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство;

- если обе части неравенства разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится равносильное ему неравенство.

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то точку на координатной прямой делаем закрашенной, а при записи промежутка используем квадратную скобку.

У \(-\infty\) и \(+\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.

\(2\sqrt{5}(\sqrt{2}-\sqrt{5})-(\sqrt{5}+\sqrt{2})^2=\)

\(=2\sqrt{5}\cdot\sqrt{2}-2\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}-((\sqrt5)^2+2\sqrt5\cdot\sqrt2+(\sqrt2)^2)=\)

\(=2\sqrt{10} - 2\sqrt{25} - (5 + 2\sqrt{10} + 2) =\)

\(=\cancel{2\sqrt{10}} - 2\cdot5 - 5 - \cancel{2\sqrt{10}} - 2) =\)

\(=-10-5-2 = -17\).

Пояснения:

1. Раскрытие скобок выполняется по формуле:

\[ k(a-b)=ka-kb. \]

2. Квадрат суммы раскрывается по формуле:

\[ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2. \]

3. Умножение корней выполняем по правилу:

\[ \sqrt{a}\cdot \sqrt{b}=\sqrt{ab}. \]

Шаг за шагом раскрываем скобки, приводим подобные члены. Члены \(2\sqrt{10}\) в выражении взаимно уничтожились, осталось только числовое выражение.