Упражнение 957 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\(y = 2x + 13\)

1) \(2x + 13 > 0\)

\(2x > -13\)   \(/ : 2\)

\(x > -\dfrac{13}{2}\)

\(x > -6,5\)

2) \(2x + 13 < 0\)

\(2x < -13\)   \(/ : 2\)

\(x < -\dfrac{13}{2}\)

\(x < -6,5\)

Ответ: при \(x > -6,5\) функция принимает положительные значения, при \(x < -6,5\) функция принимает отрицательные значения.

Пояснения:

Функция \(y = 2x + 13\) является линейной функцией с угловым коэффициентом \(k = 2 > 0\). Это означает, что её график — прямая, которая возрастает.

Чтобы найти, при каких \(x\) значения функции положительны или отрицательны, нужно решить неравенства относительно нуля:

\(y > 0\), то есть \(2x + 13 > 0,\)

\(y < 0 \), то есть \(2x + 13 < 0.\)

Из первого условия получили:

\(x > -6,5\).

Это значит, что функция положительна для всех \(x\), которые больше \(-6,5\).

Из второго условия получили:

\(x < -6,5\).

Это значит, что функция отрицательна для всех \(x\), которые меньше \(-6,5\).

В точке \(x = -\dfrac{13}{2}\) функция принимает нулевое значение \(y=0\).

а) \(-1 < 2x - 4 < 5\)

\(\begin{cases} 2x-4 > -1, \\ 2x-4 < 5 \end{cases} \)

\(\begin{cases} 2x > -1 + 4, \\ 2x < 5 + 4 \end{cases} \)

\(\begin{cases} 2x > 3, / : 2\\ 2x < 9   / : 2 \end{cases} \)

\(\begin{cases} x > \frac32, \\ x < \frac92 \end{cases} \)

\(\begin{cases} x > 1,5, \\ x < 4,5 \end{cases} \)

Ответ: при \(x \in (1{,}5;\,4{,}5).\)

б) \(0 \le \dfrac{x - 5}{2} \le 5\)

\(\begin{cases} \dfrac{x - 5}{2} \ge 0, /\times2 \\ \dfrac{x - 5}{2} \le 10  /\times2 \end{cases} \)

\(\begin{cases} x - 5 \ge 0, \\ x - 5 \le 10 \end{cases} \)

\(\begin{cases} x \ge 5, \\ x \le 10 + 5 \end{cases} \)

\(\begin{cases} x \ge 5, \\ x \le 15 \end{cases} \)

Ответ: при \(x \in [5;\,15].\)

в) \(-1 < -\dfrac{1}{3}x + 8 < 1\)

\(\begin{cases} -\dfrac{1}{3}x + 8 > -1, /\times3 \\ -\dfrac{1}{3}x + 8 < 1  /\times3 \end{cases} \)

\(\begin{cases} -x + 24 > -3, /\times3 \\ -x + 24 < 3  /\times3 \end{cases} \)

\(\begin{cases} -x > -3 - 24, \\ -x < 3 - 24 \end{cases} \)

\(\begin{cases} -x > -27,  /\times(-1) \\ -x < -21    /\times(-1) \end{cases} \)

\(\begin{cases} x < 27, \\ x > 21 \end{cases} \)

Ответ: при \(x \in (21;\,27).\)

г) \(-6 \le -2{,}5x + 6 \le -2\)

\(\begin{cases} -2{,}5x + 6 \ge -6, \\ -2{,}5x + 6 \le -2 \end{cases} \)

\(\begin{cases} -2{,}5x \ge -6 - 6, \\ -2{,}5x \le -2 - 6 \end{cases} \)

\(\begin{cases} -2{,}5x \ge -12,  / : (-2,5) \\ -2{,}5x \le -8  / : (-2,5) \end{cases} \)

\(\begin{cases} x \le \frac{-12}{-2,5}, \\ x \ge \frac{-8}{-2,5} \end{cases} \)

\(\begin{cases} x \le \frac{120}{25}, \\ x \ge \frac{80}{25} \end{cases} \)

\(\begin{cases} x \le \frac{24}{5}, \\ x \ge \frac{16}{5} \end{cases} \)

\(\begin{cases} x \le 4,8, \\ x \ge 3,2 \end{cases} \)

Ответ: при \(x \in [3{,}2;\,4{,}8].\)

Пояснения:

По условию составляем двойное неравенство. Двойное неравенство удобно раскладывать на систему из двух простых неравенств:

1) средняя часть больше левой части;

2) средняя часть меньше правой части.

Чтобы решить систему неравенств, нужно найти пересечение решений неравенств системы, то есть найти множество чисел, которое является одновременно решением и одного неравенства и решением другого неравенства. Если решения неравенств не пересекаются, то система решений не имеет.

При решении неравенств системы используем то, что:

- если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится равносильное ему неравенство;

- если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство.

- если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится равносильное ему неравенство.

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то точку на координатной прямой делаем закрашенной, а при записи промежутка используем квадратную скобку.