Упражнение 956 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(31(2x+1) - 12x > 50x\)

\(62x + 31 - 12x > 50x\)

\(50x + 31 > 50x\)

\(50x - 50x > -31\)

\(0x > -31\) — верно при любом \(x\)

Ответ: \(x\) - любое число.

б) \(x + 4 - \dfrac{x}{3} < \dfrac{2x}{3}\)   \(/\times 3\)

\(3x +12 - x < 2x\)

\(2x + 12 < 2x\)

\(2x - 2x < -12\)

\(0x < -12\) - неверно.

Ответ: решений нет.

в) \(3x + 7 > 5(x+2) - (2x+1)\)

\(3x + 7 > 5x + 10 - 2x - 1\)

\(3x + 7 > 3x + 9\)

\(3x - 3x > 9 - 7\)

\(0x > 2\) - неверно.

Ответ: решений нет.

г) \(\dfrac{12x-1}{3} < 4x - 3\)    \(/\times 3\)

\(12x -1 < 3(4x - 3)\)

\(12x - 1 < 12x - 9\)

\(12x - 12x < -9 + 1\)

\(0x < -8\) - неверно.

Ответ: решений нет.

Пояснения:

При решении неравенств из пунктов а) и в) сначала раскрываем скобки,используя распределительное свойство умножения, затем приводим подобные слагаемые.

При решении неравенств из пунктов б) и г) сначала избавляемся от знаменателей, домножив неравенство на общий знаменатель дробей, входящих в неравенство, учитывая то, что если обе части неравенства умножить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство. Затем, используя распределительное свойство умножения, раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые.

Также при решении неравенств помним, если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится равносильное ему неравенство.

В пункте а) получили неравенство, которое верно при любом значении \(x\), значит, решением неравенства может быть любое число.

В пунктах б), в), и г) получили неравенства, которые неверны при всех значениях \(x\), значит, эти неравенства не имеют решений.

а) \(-9<3x<18\)

\(\begin{cases} 3x > -9,  / : 3 \\ 3x < 18 / : 3 \end{cases} \)

\(\begin{cases} x > -3, \\ x < 6 \end{cases} \)

Ответ: \(x \in(-3; 6)\).

б) \(1<\dfrac{2x-1}{2}<2\)

\(\begin{cases} \dfrac{2x-1}{2} > 1,  /\times2 \\ \dfrac{2x-1}{2} < 2  /\times2 \end{cases} \)

\(\begin{cases} 2x-1 > 2, \\ 2x-1 < 4 \end{cases} \)

\(\begin{cases} 2x > 2 + 1, \\ 2x < 4 + 1 \end{cases} \)

\(\begin{cases} 2x > 3, / :  2 \\ 2x < 5 / :  2 \end{cases} \)

\(\begin{cases} x > \frac32, \\ x < \frac52 \end{cases} \)

\(\begin{cases} x > 1,5, \\ x < 2,5 \end{cases} \)

Ответ: \(x \in(1,5; 2,5)\).

в) \(3\le 5x-1\le 4\)

\(\begin{cases} 5x - 1 \ge 3, \\ 5x - 1 \le 4 \end{cases} \)

\(\begin{cases} 5x \ge 3 + 1, \\ 5x \le 4 + 1 \end{cases} \)

\(\begin{cases} 5x \ge 4,  / : 5 \\ 5x \le 5  / : 5 \end{cases} \)

\(\begin{cases} x \ge \frac45, \\ x \le 1 \end{cases} \)

\(\begin{cases} x \ge 0,8, \\ x \le 1 \end{cases} \)

Ответ: \(x \in [0,8; 1]\).

г) \(0\le \dfrac{1-x}{3}\le 1\)

\(\begin{cases} \dfrac{1-x}{3} \ge 0, /\times3 \\ \dfrac{1-x}{3} \le 1 /\times3 \end{cases} \)

\(\begin{cases} 1-x \ge 0, \\ 1-x \le 3 \end{cases} \)

\(\begin{cases} -x \ge -1,  /\times(-1) \\ -x \le 3 - 1  \end{cases} \)

\(\begin{cases} x \le 1, \\ -x \le 2 /\times(-1) \end{cases} \)

\(\begin{cases} x \le 1, \\ x \ge -2 \end{cases} \)

Ответ: \(x \in [-2;1]\).

Пояснения:

Двойное неравенство удобно раскладывать на систему из двух простых неравенств:

1) средняя часть больше левой части;

2) средняя часть меньше правой части.

Чтобы решить систему неравенств, нужно найти пересечение решений неравенств системы, то есть найти множество чисел, которое является одновременно решением и одного неравенства и решением другого неравенства. Если решения неравенств не пересекаются, то система решений не имеет.

При решении неравенств системы используем то, что:

- если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится равносильное ему неравенство;

- если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство.

- если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится равносильное ему неравенство.

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то точку на координатной прямой делаем закрашенной, а при записи промежутка используем квадратную скобку.