Упражнение 951 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{3} <5\)   \(/\times 6\)

\(3x + 2x < 30\)

\(5x < 30 \)    \(/ : 5\)

\( x < 6\).

Ответ: \((-\infty; 6)\).

б) \(\dfrac{3y}{2} - \dfrac{y}{3}\geq 2\)   \(/\times 6\)

\(9y - 2y \geq 12 \)

\(7y \geq 12 \)   \(/ : 7\)

\(y \geq \dfrac{12}{7}\)

\(y \geq 1\dfrac{5}{7}\)

Ответ: \([1\dfrac{5}{7}; +\infty)\).

в) \(\dfrac{x}{4} - \dfrac{x}{2} > -3\)   \(/\times 4\)

\(x-2x >-12\)

\( -x > -12 \)   \(/\times (-1)\)

\(x < 12\).

Ответ: \((-\infty; 12)\).

г) \(y + \dfrac{y}{2} >3\)

\(2y + y > 6\)

\( 3y > 6 \)   \(/ : 3\)

\(y > 2\).

Ответ: \((2; +\infty)\).

д) \(\dfrac{2x}{5} - x \leq 1 \)   \(/\times 5\)

\(2x-5x \leq 5 \)

\( -3x \leq 5 \)    \( / : (-3)\)

\(x \geq -\dfrac{5}{3}\)

\(x \geq -1\dfrac{2}{3}\)

Ответ: \([-1\dfrac{2}{3}; +\infty)\).

е) \(\dfrac{3x}{4} - 2x < 0\)   \(/\times 4\)

\(3x - 8x < 0\)

\( -5x < 0 \)   \( / :(-5)\)

\(x > 0\).

Ответ: \((0; +\infty)\).

Пояснения:

Сначала в каждом неравенстве избавляемся от знаменателей, домножив неравенство на знаменатель дроби, входящей в него, или на общий знаменатель дробей, входящих в неравенство, учитывая то, что если обе части неравенства умножить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство.

Затем при решении неравенств используем то, что:

- если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится равносильное ему неравенство;

- если обе части неравенства разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство;

- если обе части неравенства разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится равносильное ему неравенство.

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то точку на координатной прямой делаем закрашенной, а при записи промежутка используем квадратную скобку.

У \(-\infty\) и \(+\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.

Второй турист вышел на \(2\) ч позже.

Составим неравенство:

\(\frac{24}{x} + 2 < 6\)   \(/\times x\)

\(24 + 2x < 6x\)

\(2x - 6x < -24\)

\(-4x < -24\)    \(/ : (-4)\)

\(x > 6\)

Ответ: скорость второго туриста должна быть более \(6\) км/ч.

Пояснения:

Обозначив скорость туриста через \(x\) км/ч (\(x > 0\)), по условию задачи составили неравенство:

\(\frac{24}{x} + 2 < 6\).

При решении неравенств используем то, что:

- если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится равносильное ему неравенство;

- если обе части неравенства разделить или умножить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство;

- если обе части неравенства разделить или умножить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится равносильное ему неравенство.