Упражнение 947 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(4b(1 - 3b) - (b - 12b^2) < 43\)

\(4b - \cancel{12b^2} - b + \cancel{12b^2} < 43 \)

\(3b < 43\)   \(/ : 3\)

\(b < \frac{43}{3}\)

\(b < 14\frac{1}{3}\).

Ответ: \((-\infty; 14\frac{1}{3})\).

б) \(3y^2 - 2y - 3y(y - 6) \geq -2\)

\(\cancel{3y^2} - 2y - \cancel{3y^2} + 18y \geq -2 \)

\(16y \geq -2 \)     \(/ : 16\)

\(y \geq -\frac{2}{16}\)

\(y \geq -\frac{1}{8}\).

Ответ: \([ -\frac{1}{8}; +\infty)\).

в) \(2p(5p + 2) - p(10p + 3) \leq 14\)

\(\cancel{10p^2} + 4p - \cancel{10p^2} - 3p \leq 14 \)

\(p \leq 14\)

Ответ: \((-\infty; 14]\).

г) \(a(a - 1) - (a^2 + a) < 34\).

\(\cancel{a^2} - a - \cancel{a^2} - a < 34\)

\(-2a < 34 \)   \(/ : (-2)\)

\(a > -17\).

Ответ: \((-17; +\infty)\).

Пояснения:

При решении неравенств сначала раскрываем скобки, используя правило умножения одночлена на многочлен, учитывая знаки перед скобками, и приводим подобные слагаемые.

Затем при решении неравенств используем то, что:

- если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится равносильное ему неравенство;

- если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство;

- если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится равносильное ему неравенство.

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то точку на координатной прямой делаем закрашенной, а при записи промежутка используем квадратную скобку.

У \(-\infty\) и \(+\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.

а) \(10x = 3b \)   \(/ : 10\)

\(x = \frac{3b}{10}\)

\(\frac{3b}{10} < 0\)  \(/\times 10\)

\(3b < 0\)   \(/ : 3\)

\(b < 0\)

Ответ: \(b \in (- \infty; 0)\).

б) \(x - 4 = b\)

\(x = b + 4\)

\(b + 4 < 0 \)

\(b < -4\)

Ответ: \(b \in (- \infty; -4)\).

в) \(3x - 1 = b + 2 \)

\(3x = b + 2 + 1 \)

\(3x = b + 3 \)  \(/ : 3\)

\(x = \frac{b + 3}{3}\)

\(\frac{b + 3}{3} < 0 \)  \(/ \times3\)

\(b + 3 < 0 \)

\(b < -3\)

Ответ: \(b \in (- \infty; -3)\).

г) \(3x - 3 = 5b - 2 \)

\(3x = 5b + 1 \)   \(/ : 3\)

\(x = \frac{5b + 1}{3}\)

\(\frac{5b + 1}{3} < 0\) \(/ \times3\)

\(5b + 1 < 0 \)

\(5b < -1 \)

\(b < -\frac{1}{5} \)

\(b < -0,2\)

Ответ: \(b \in (- \infty; -0,2)\).

Пояснения:

Основные правила.

- Сначала в каждом уравнении выражаем \(x\):

Если \(kx = m\), то \(x = \frac{m}{k}\) при \(k \ne 0.\)

- Чтобы уравнение имело отрицательный корень, найденное выражение для \(x\) должно удовлетворять условию \(x < 0\), то есть получается неравенство относительно \(b\), которое нужно решить.

При решении неравенств используем то, что:

- если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится равносильное ему неравенство;

- если обе части неравенства разделить или умножить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство.

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то при записи промежутка используем круглую скобку.

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то при записи промежутка используем квадратную скобку.

У \(-\infty\) и \(+\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.