Упражнение 919 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 206

\(\dfrac{a}{54} \in \left[\dfrac{1}{9}; \dfrac{1}{6}\right]\)

\(\dfrac{1}{9} = \dfrac{6}{54}\), \(\quad \dfrac{1}{6} = \dfrac{9}{54}\).

\(\dfrac{a}{54} \in \left[\dfrac{6}{54}; \dfrac{9}{54}\right]\).

\(a = 6, 7, 8, 9\).

Ответ: \(\dfrac{6}{54}, \dfrac{7}{54}, \dfrac{8}{54}, \dfrac{9}{54}\).

Пояснения:

Для того чтобы дробь \(\dfrac{a}{54}\) принадлежала заданному промежутку, нужно, чтобы её числитель \(a\) попадал в границы, приведенные к знаменателю 54.

Промежуток \(\left[\dfrac{1}{9}; \dfrac{1}{6}\right]\) равен \(\left[\dfrac{6}{54}; \dfrac{9}{54}\right]\).

Значит, \(\dfrac{a}{54}\) входит в этот промежуток тогда и только тогда, когда \(6 \leq a \leq 9\).

Подставляем возможные значения: \(\dfrac{6}{54}, \dfrac{7}{54}, \dfrac{8}{54}, \dfrac{9}{54}\).

а) При \(a>3\)

\( \left(\frac{a-3}{a+3} ^{\color{blue}{\backslash a-3}} -\frac{a+3}{a-3} ^{\color{blue}{\backslash a+3}} \right)\!\left(1 ^{\color{blue}{\backslash a}} +\frac{3}{a}\right) < 0\)

\( \frac{(a-3)^2-(a+3)^2}{\cancel{(a+3)}(a-3)}\cdot\frac{\cancel{a+3}}{a} < 0\)

\( \frac{a^2-6a+9-(a^2+6a+9)}{a-3}\cdot\frac{1}{a} < 0\)

\( \frac{\cancel{a^2}-6a+\cancel{9}-\cancel{a^2}-6a-\cancel{9}}{a-3}\cdot\frac{1}{a} < 0\)

\( \frac{-12\cancel a}{a-3}\cdot\frac{1}{\cancel a} < 0\)

\( \frac{-12}{a-3} < 0\) - верно при \(a > 3\).

Что и требовалось доказать.

б) При \(y>1\)

\[ \frac{y^{2}+3}{y-1}-\frac{2}{y}\!:\!\left(\frac{1}{y^{2}-y}+\frac{y-3}{y^{2}-1}\right) \]

\(\frac{(y^{2}+3)}{y-1}  -\frac{2}{y}\!:\!\left(\frac{1}{y(y-1)} ^{\color{blue}{\backslash y+1}} +\frac{y-3}{(y-1)(y+1)} ^{\color{blue}{\backslash y}} \right) >0 \)

\( \frac{y^{2}+3}{y-1}-\frac{2}{y}\!:\!\frac{(y+1)+y(y-3)}{y(y-1)(y+1)}  >0 \)

\( \frac{y^{2}+3}{y-1}-\frac{2}{y}\!:\!\frac{y+1+y^2-3y}{y(y-1)(y+1)}  >0 \)

\( \frac{y^{2}+3}{y-1}-\frac{2}{y}\!:\!\frac{y^2-2y+1}{y(y-1)(y+1)}  >0 \)

\( \frac{y^{2}+3}{y-1}-\frac{2}{y}\!:\!\frac{(y-1)^{\cancel{2}}}{y\cancel{(y-1)}(y+1)}  >0 \)

\( \frac{y^{2}+3}{y-1}-\frac{2}{y}\!:\!\frac{(y-1)}{y(y+1)}  >0 \)

\( \frac{y^{2}+3}{y-1}-\frac{2}{\cancel y}\cdot\frac{\cancel y(y+1)}{y-1}  >0 \)

\( \frac{y^{2}+3}{y-1}-\frac{2y+2}{y-1}  >0 \)

\( \frac{(y^{2}+3) -(2y + 2)}{y-1}  >0 \)

\( \frac{y^{2}+3 -2y - 2}{y-1}  >0 \)

\( \frac{y^{2} -2y + 1}{y-1}  >0 \)

\( \frac{(y- 1)^{\cancel2}}{\cancel{y-1}}  >0 \)

\(y - 1 > 0\) - верно при \(y>1\).

Что и требовалось доказать.

Пояснения:

Чтобы выполнить доказательства, преобразуем левые части неравенств. При выполнении преобразований используем следующие приемы:

- Для сложения и вычитания дробей приводим их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель каждой дроби на необходимые множители. При этом, при приведении дробей к общему знаменателю, если возможно, раскладываем на множители знаменатели складываемых или вычитаемых дробей. Затем, чтобы получить общий знаменатель, составляем произведение из всех множителей без повторений, входящих в знаменатели складываемых или вычитаемых дробей.

- Для умножения дробей перемножаем числители и знаменатели отдельно, при этом, если возможно перед умножением выполняем сокращение.

- Деление дробей выполняется умножением на обратную дробь:

\(\frac{A}{B} : \frac{C}{D} = \frac{A}{B}\cdot\frac{D}{C}= \frac{A\cdot D}{B\cdot C}.\)

- Противоположные выражения:

\(-(a - b) = -a + b\).

- Квадрат суммы двух выражений:

\((a +b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).

- Квадрат разности двух выражений:

\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).

- Разность квадратов двух выражений:

\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\).