Упражнение 918 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 206

\((1,5; 2,4)\)

\(1,5 = \sqrt{2,25}\)

\(2,4 = \sqrt{5,76}\)

а) \(\sqrt{2} < \sqrt{2,25}\)

\(\sqrt{2}\) - не принадлежит интервалу.

б) \(\sqrt{2,25} < \sqrt{3} < \sqrt{5,76}\)

\(\sqrt{3}\) - принадлежит интервалу.

в) \(\sqrt{2,25} < \sqrt{5} < \sqrt{5,76}\)

\(\sqrt{5}\) - принадлежит интервалу.

г) \(\sqrt{6} > \sqrt{5,76}\)

\(\sqrt{6}\) - не принадлежит интервалу.

Пояснения:

Используем свойства корня:

- \(a = \sqrt{a^2}\).

- если \(a>b\), то \(\sqrt{a} > \sqrt{b}\).

а) \(a^{2}+b^{2}+2 \ge 2(a+b)\)

\( a^{2}+b^{2}+2-2(a+b) =\)

\(=a^2 + b^2 + 2 -2a - 2b =\)

\(=(a^{2}-2a+1)+(b^{2}-2b+1) =\)

\(=(a-1)^{2}+(b-1)^{2}\ge 0 \)

Неравенство доказано.

б) \(a^{2}+b^{2}+c^{2}+5 > 2(a+b+c)\)

\( a^{2}+b^{2}+c^{2}+5-2(a+b+c) =\)

\( = a^{2}+b^{2}+c^{2}+5-2a-2b-2c =\)

\(=(a^2 - 2a + 1) + (b^2 - 2b + 1) + (c^2 - 2c + 1) +2=\)

\(=(a-1)^{2}+(b-1)^{2}+(c-1)^{2}+2 >0 \)

Неравенство доказано.

Пояснения:

При доказательстве находим разность левой и правой частей неравенства и учитываем то, что:

- если \(a - b < 0\), то \(a < b\),

- если \(a - b > 0\), то \(a > b\).

Использованные приемы:

- распределительное свойство:

\(k(a + b) = ka + kb\),

- квадрат суммы двух выражений:

\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\);

- квадрат разности двух выражений:

\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).