Упражнение 886 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(1{,}4 < \sqrt{2} < 1{,}5\) и \(1{,}7 < \sqrt{3} < 1{,}8\)

\(1{,}4 + 1{,}7 < \sqrt{2} + \sqrt{3} < 1{,}5 + 1{,}8\)

\(3{,}1 < \sqrt{2} + \sqrt{3} < 3{,}3.\)

б) \(1{,}4 < \sqrt{2} < 1{,}5\) и \(1{,}7 < \sqrt{3} < 1{,}8\)

\(\sqrt{3} - \sqrt{2} = \sqrt{3} + (-\sqrt{2})\)

\(-1{,}5 < -\sqrt{2} < -1{,}4\)

\(1{,}7 + (-1{,}5) < \sqrt{3} + (-\sqrt{2}) < 1{,}8 + (-1{,}4)\)

\(0{,}2 < \sqrt{3} - \sqrt{2} < 0{,}4.\)

Пояснения:

Если почленно сложить верные неравенства одного знака, то получится верное неравенство.

При выполнении вычитания неравенств, учитываем то, что вычитание можно заменить сложением с противоположным числом:

\(a - b = a + (-b)\).

Свойство числовых неравенств:

- если обе части неравенства умножить на одно и то же отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный.

а) \( \begin{cases} 2(x-1) - 3(x-2) < x, \\ 6x - 3 < 17 - (x-5) \end{cases} \)

\( \begin{cases} 2x-2 - 3x+6 < x, \\ 6x - 3 < 17 - x+5 \end{cases} \)

\( \begin{cases} -x+4 < x, \\ 6x - 3 < 22 - x \end{cases} \)

\( \begin{cases} -x- x < -4, \\ 6x + x < 22 + 3 \end{cases} \)

\( \begin{cases} -2x < -4, / : (-2) \\ 7x < 25 / : 7 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x > 2, \\ x < \frac{25}{7} \end{cases} \)

\( \begin{cases} x > 2, \\ x < 3\frac{4}{7} \end{cases} \)

Ответ: \((2; 3\frac{4}{7})\).

б) \( \begin{cases} 3,3 - 3(1,2 - 5x) > 0,6(10x+1), \\ 1,6 - 4,5(4x-1) < 2x + 26,1 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 3,3 - 3,6 + 15x > 6x+0,6, \\ 1,6 - 18x+4,5 < 2x + 26,1 \end{cases} \)

\( \begin{cases} -0,3 + 15x > 6x+0,6, \\ 6,1 - 18x < 2x + 26,1 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 15x - 6x > 0,6 + 0,3, \\ -18x - 2x < 26,1 - 6,1 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 9x > 0,9, / : 9 \\ -20x < 20 / : (-20) \end{cases} \)

\( \begin{cases} x > 0,1, \\ x > -1 \end{cases} \)

Ответ: \((0,1; + \infty )\).

в) \( \begin{cases} 5,8(1-a) - 1,8(6-a) < 5, \\ 8 - 4(2-5a) > -(5a+6) \end{cases} \)

\( \begin{cases} 5,8-5,8a - 10,8 + 1,8a < 5, \\ 8 - 8 + 20a > -5a-6 \end{cases} \)

\( \begin{cases} -4a - 5 < 5, \\ 20a > -5a-6 \end{cases} \)

\( \begin{cases} -4a < 5 + 5, \\ 20a + 5a > -6 \end{cases} \)

\( \begin{cases} -4a < 10, / : (-4) \\ 25a > -6  / : 25 \end{cases} \)

\( \begin{cases} a > -\frac{10}{4}, \\ a > -\frac{6}{25} \end{cases} \)

\( \begin{cases} a > -2,5, \\ a > -0,24 \end{cases} \)

Ответ: \((-0,24; + \infty )\).

г) \( \begin{cases} x(x-1) - (x^2 - 10) < 1 - 6x, \\ 3,5 - (x-1,5) < 6 - 4x \end{cases} \)

\( \begin{cases} \cancel{x^2}-x - \cancel{x^2} + 10 < 1 - 6x, \\ 3,5 - x+1,5 < 6 - 4x \end{cases} \)

\( \begin{cases} -x + 10 < 1 - 6x, \\ 5 - x < 6 - 4x \end{cases} \)

\( \begin{cases} -x + 6x < 1 - 10, \\ -x + 4x < 6 - 5 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 5x < -9, / : 5 \\ 3x < 1  / : 3 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x < -1,8, \\ x < \frac13 \end{cases} \)

Ответ: \((-\infty; -1,8)\).

Пояснения:

Чтобы решить систему неравенств, нужно найти пересечение решений неравенств системы, то есть найти множество чисел, которое является одновременно решением и одного неравенства и решением другого неравенства. Если решения неравенств не пересекаются, то система решений не имеет.

При решении систем неравенств сначала раскрываем скобки, используя распределительное свойство умножения, затем используем то, что:

- если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится равносильное ему неравенство;

- если обе части неравенства разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство;

- если обе части неравенства разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится равносильное ему неравенство.

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то точку на координатной прямой делаем закрашенной, а при записи промежутка используем квадратную скобку.

У \(-\infty\) и \(+\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.