Упражнение 770 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\[5x^2 - 12x + c = 0\]

\(a =3\),  \(b = -12\),  \(c - ?\)

Пусть корни уравнения \(x_1\) и \(x_2\).

\(x_2 = 3x_1\)

По теореме Виета: \[ x_1 + x_2 = \frac{12}{5}, \quad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{5}. \]

Составим систему уравнений:

\( \begin{cases} x_1 + 3x_1 = \tfrac{12}{5} \\ x_1 \cdot 3x_1 = \frac{с}{5} \end{cases} \)

\( \begin{cases} 4x_1 = \tfrac{12}{5} /\times5 \\ 3x_1^2 = \frac{с}{5} /\times5 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 20x_1 = 12 \\ 15x_1^2 = c \end{cases} \)

\( \begin{cases} x_1 = \frac{12}{20} \\ c=15x_1^2 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x_1 = \frac{3}{5} \\ c={15}\cdot(\frac{3}{5})^2 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x_1 = \frac{3}{5} \\ c=  ^3\cancel{15}\cdot\frac{9}{\cancel{25}  _5} \end{cases} \)

\( \begin{cases} x_1 = \frac{3}{5} \\ c=\frac{27}{5} \end{cases} \)

\( \begin{cases} x_1 = 0,6 \\ c=5,4 \end{cases} \)

Ответ: \(c=5,4\)

Пояснения:

Один из корней уравнения в 3 раза больше другого, тогда, если \(x_1\) - меньший корень, то \(x_2 = 3x_1\).

Использовали теорему Виета: \[ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \quad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}. \]

Для уравнения \(5x^2 - 12x + c = 0\): \(-\frac{b}{a} = \frac{12}{5}, \quad \frac{c}{a} = \frac{c}{5}.\)

Составили систему уравнений, учитывая то, что \(x_2 = 3x_1\). Решив систему способом подстановки нашли, что \(c =5,4.\)

а) \(1{,}4 < \sqrt{2} < 1{,}5\) и \(1{,}7 < \sqrt{3} < 1{,}8\)

\(1{,}4 + 1{,}7 < \sqrt{2} + \sqrt{3} < 1{,}5 + 1{,}8\)

\(3{,}1 < \sqrt{2} + \sqrt{3} < 3{,}3.\)

б) \(1{,}4 < \sqrt{2} < 1{,}5\) и \(1{,}7 < \sqrt{3} < 1{,}8\)

\(\sqrt{3} - \sqrt{2} = \sqrt{3} + (-\sqrt{2})\)

\(-1{,}5 < -\sqrt{2} < -1{,}4\)

\(1{,}7 + (-1{,}5) < \sqrt{3} + (-\sqrt{2}) < 1{,}8 + (-1{,}4)\)

\(0{,}2 < \sqrt{3} - \sqrt{2} < 0{,}4.\)

Пояснения:

Если почленно сложить верные неравенства одного знака, то получится верное неравенство.

При выполнении вычитания неравенств, учитываем то, что вычитание можно заменить сложением с противоположным числом:

\(a - b = a + (-b)\).

Свойство числовых неравенств:

- если обе части неравенства умножить на одно и то же отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный.