Упражнение 644 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 151

\(x^{2}-2xy+y^{2}=(x-y)^{2}\)

Если \(x=3+\sqrt{5}\), \(y=3-\sqrt{5}\), то

\(((3+\sqrt{5})-(3-\sqrt{5}))^2=\)

\(=(\cancel3+\sqrt{5}-\cancel3+\sqrt{5})^2=\)

\(=(2\sqrt{5})^2=4\cdot5=20.\)

Пояснения:

Использована формула квадрата разности:

\( (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}. \)

Поэтому

\(x^{2}-2xy+y^{2}=(x-y)^{2}\).

Подставили данные числовые значения вместо \(x\) и \(y\) и выполнили вычисления.

Свойство степени:

\((ab)^n = a^nb^n\).

Свойство корня:

\((\sqrt a)^2 = a\).

а) \( x^2-5ax+4a^2=0 \)

\(D=(-5a)^2-4\cdot 1\cdot 4a^2=\)

\(=25a^2-16a^2=9a^2 \).

\(\sqrt D = |3a|\).

1 случай:

Если \(D > 0\), то \(9a^2 > 0\) и \(a \neq 0\)

\( x_{1}=\frac{5a+ |3a|}{2} = \frac{8a}{2}=4a\)

\( x_{2}=\frac{5a- |3a|}{2} = \frac{2a}{2}=a\)

2 случай:

Если \(D=0\), то \(9a^2 = 0\) и \(a = 0\), тогда \(x = 0\).

Ответ: если \(a = 0\), то \(x = 0\);

если \(a\neq0\), то \(x = a\) или \(x = 4a\).

б) \( 3x^2-10ax+3a^2=0 \)

\( D=(-10a)^2-4\cdot 3 \cdot 3a^2=\)

\(=100a^2-36a^2=64a^2 \).

\(\sqrt D = |8a|\).

1 случай:

Если \(D > 0\), то \(64a^2 > 0\) и \(a \neq 0\)

\( x_1=\frac{10a+ |8a|}{2\cdot 3} =\frac{18a}{6} = 3a\)

\( x_2=\frac{10a-|8a|}{6}=\frac{2a}{6}=\frac13a\).

2 случай:

Если \(D=0\), то \(64a^2 = 0\) и \(a = 0\), тогда \(x = 0\).

Ответ: \(x=3a\) или \(x=\frac{1}{3}a\).

Пояснения:

Количество корней квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) зависит от дискриминанта \(D = b^2 - 4ac\). Анализируя знак дискриминанта, получаем два случая: два корня и один корень.

При извлечении корня из дискриминанта использовали свойства корня:

\(\sqrt{ab} = \sqrt a \cdot \sqrt b\);

\( \sqrt{a^2} = |a|\).