Упражнение 572 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Пусть \(x\) см — сторона квадрата, тогда основание коробки имеет размеры \((60-2x)\) см и \((40-2x)\) (см). Площадь основания коробки равна \(800\) см².

Составим уравнение:

\((60-2x)(40-2x)=800\)

\(2400-120x-80x+4x^2=800\)

\(4x^2-200x+2400-800=0\)

\(4x^2-200x+1600=0\)       \( / : 4\)

\(x^2-50x+400=0\)

\(a=1\), \(b=-50\), \(c=400\).

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=(-50)^2-4\cdot1\cdot400=\)

\(=2500-1600=900\)    \(\sqrt D=30\).

\(x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-50)+30}{2\cdot1}=\)

\(=\frac{80}{2}=40\) - не удовлетворяет условию.

\(x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} =\frac{-(-50)-30}{2\cdot1}=\)

\(=\frac{20}{2}=10\) - сторона квадрата.

Ответ: сторона квадрата 10 см.

Пояснения:

Площадь прямоугольника:

\(\,S=ab\),

где \(a\) и \(b\) - стороны прямоугольника.

После вырезания по углам квадратов со стороной \(x\) длина и ширина основания уменьшаются на \(2x\), поэтому основание коробки имеет размеры \((60-2x)\) см и \((40-2x)\) (см). Тогда относительно площади можно составить уравнение::

\((60-2x)(40-2x)=800\).

В левой части уравнения, умножив многочлен на многочлен, раскрыли скобки, слагаемое из правой части уравнения перенесли в левую со сменой знака, привели подобные, получили полное квадратное уравнение:

\(4x^2-200x+1600=0\) 

Для упрощения разделили обе части уравнения на 4:

\(x^2-50x+400=0\).

Через дискриминант решили полученное уравнение и нашли два корня: 40 и 10. Но сторона квадрата не может быть равна 40 см, так как 40 см сторона коробки. Поэтому искомая сторона квадрата равна 10 см.

Пусть всего было \(x\) команд, тогда каждая команда сыграла \((x-1)\) раз.

Составим уравнение:

\(\dfrac{x(x-1)}{2}=36\)    \(/\times2\)

\(x(x-1)=72\)

\(x^2-x-72=0\)

\(a=1\), \(b=-1\), \(c=-72\).

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=(-1)^2 -4\cdot1\cdot(-72)=\)

\(=1+288=289\);    \(\sqrt{D}=17\).

\(x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} =\frac{-(-1)+17}{2\cdot1}=\)

\(=\frac{18}{2}=9\).

\(x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} =\frac{-(-1)-17}{2\cdot1}=\)

\(=\frac{-16}{2}=-8\) - не удовлетворяет условию \((x>0)\)

Ответ: \(9\) команд.

Пояснения:

Пусть всего было \(x\) команд, тогда каждая команда сыграла \(x-1\) раз. Значит, число матчей равно количеству пар команд:

\(\dfrac{n(n-1)}{2}=36\).

Обе части уравнения домножили на \(2\), раскрыли скобки, слагаемое из правой части уравнения перенесли в левую со сменой знака, получили полное квадратное уравнение:

\(x^2-x-72=0\).

Через дискриминант решили полученное уравнение и нашли два корня. Отрицательный корень не подходит, так как количество команд может быть только натуральным числом. Положительный корень и есть искомое число команд.